Intégrale : définition

Q: Comment calculer une intégrale ?

On cherche une primitive F de la fonction, puis on calcule F(b) - F(a).

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Définition

L'intégrale d'une fonction continue et positive $f$ entre $a$ et $b$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales d'abscisses $a$ et $b$.

Notation : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$.

En clair

C'est l'aire sous la courbe, calculée grâce à une primitive.

Ce qu'il faut retenir

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)$ pour toute primitive $F$ de $f$.
Relation de Chasles : $\displaystyle\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$.
Linéarité : $\displaystyle\int (\alpha f + \beta g) = \alpha\int f + \beta \int g$.
Si $f$ est négative, l'intégrale est négative : elle compte l'aire avec un signe.
La valeur moyenne de $f$ sur $[a\,;\,b]$ vaut $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.

Exemple

$\displaystyle\int_0^2 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac83$.

À ne pas confondre avec

Primitive — la primitive est une fonction, l'intégrale un nombre.
Aire — l'aire géométrique est toujours positive, l'intégrale peut être négative.

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Termes liés

Primitive Aire sous la courbe Dérivée Relation de Chasles Aire Asymptote Continuité Convexité Croissances comparées Équation différentielle

Questions fréquentes sur « intégrale »

Comment calculer une intégrale ?

On cherche une primitive $F$ de la fonction, puis on calcule $F(b) - F(a)$.

Une intégrale peut-elle être négative ?

Oui, lorsque la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration.

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