Barycentre de points : corrigé des exercices de maths en 1ère.

Le corrigé des exercices de maths en 1ère sur le barycentre n points pondérés. Utiliser les propriétés de stabilité et d’associativité du barycentre en première.

Exercice 1 :

1. Le barycentre des points et a pour coordonnées :

$G = (\frac{A+2B}{3}, \frac{1+2}{3}) https://mathovore.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?AB=6$ cm, on peut utiliser la relation de Chasles pour exprimer en fonction de : . Ainsi, on peut écrire :

$G = (\frac{3A + 2(A+6)}{3}, \frac{3}{3}) = (\frac{2A+6}{3}, 1) https://mathovore.fr/cgi-bin/mimetex.cgi?G$ a pour abscisse $\frac{2A+6}{3}$ .

2. Le barycentre des points et a pour coordonnées :

$G = (\frac{A-3B}{2}, \frac{3-3}{2}) = (\frac{A-3B}{2}, 0)$

Comme cm, on peut utiliser la relation de Chasles pour exprimer en fonction de : . Ainsi, on peut écrire :

$G = (\frac{4A + 8}{2}, 0 ) = (2A+4, 0)$

Donc le barycentre a pour abscisse .

3. Le barycentre des points et a pour coordonnées :

$G = (\frac{A-2B}{3}, \frac{1-2}{3}) = (\frac{A-2B}{3}, -\frac{1}{3})$

Comme cm, on peut utiliser la relation de Chasles pour exprimer en fonction de : . Ainsi, on peut écrire :

$G = (\frac{3A - 2(A-4)}{3}, -\frac{1}{3} ) = (\frac{2A+8}{3}, -\frac{1}{3})$

Donc le barycentre a pour abscisse $\frac{2A+8}{3}$ .

4. Le barycentre des points et a pour coordonnées :

$G = (\frac{M+N}{2}, \frac{-3-2}{2}) = (\frac{M+N}{2}, -\frac{5}{2})$

Comme en fonction de : . Ainsi, on peut écrire :

$G = (\frac{2M+10}{2}, -\frac{5}{2}) = (M+5, -\frac{5}{2})$

Donc le barycentre a pour abscisse .

A vous d’effectuer ces constructions en sachant que le barycentre est forcément aligné avec les points A et B.

Exercice 2 :

1. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que $\|5\vec{MA}+6\vec{MB}\|=22 .$
Considérons I barycentre des points (A,5) et (B,6)
$5\vec{MA}+6\vec{MB}=11\vec{MI}+5\vec{IA}+6\vec{IB}=11\vec{MI}+\vec{0}=11\vec{MI} .$
donc l’ensemble correspond au cercle de centre I et de rayon 2 .

2. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que $\|-5\vec{MA}+8\vec{MB}\|=12 .$
Considérons I barycentre des points (A,-5) et (B,8)
$-5\vec{MA}+8\vec{MB}=3\vec{MI}-5\vec{IA}+8\vec{IB}=3\vec{MI}+\vec{0}=3\vec{MI} .$
donc l’ensemble correspond au cercle de centre I et de rayon 4 .

3. Décrire l’ensemble des points M du plan tels que $\|5\vec{MA}-6\vec{MB}\|=\|7\vec{MA}-6\vec{MB}\| .$
Considérons I barycentre des points (A,5) et (B,-6) et J barycentre des points (A,7) et (B;-6)
$5\vec{MA}-6\vec{MB}=-\vec{MI}+5\vec{IA}-6\vec{IB}=-\vec{MI}+\vec{0}=-\vec{MI} .$
De même : $7\vec{MA}-6\vec{MB}=\vec{MJ}+7\vec{JA}-6\vec{JB}=-\vec{MJ}+\vec{0}=\vec{MJ} .$
donc nous recherchons les points M tels que MI=MJ, l’ensemble est donc la médiatrice du segment [IJ].

Exercice 3 :
Soit R un repère orthonormé du plan .

1. Effectuer la construction

2. On note l’ensemble des points M du plan tels que $\|4\vec{MA}+5\vec{MB}\|=45 .$ .
$4\vec{MA}+5\vec{MB}=(4(3-x)+5(-1-x);4(4-y)+5(2-y)) \\=(-9x+7;-9y+26).$ .
$\|4\vec{MA}+5\vec{MB}\|=\sqrt{(-9x+7)^2+(-9y+26)^2}\\=\sqrt{81[(x-\frac{7}{9})^2+(y-\frac{26}{9})^2]}.$

Déterminer l’équation de l’ensemble .
L’équation de cet ensemble est donc :
$(x-\frac{7}{9})^2+(y-\frac{26}{9})^2=(\frac{45}{81})^2.$

2. Montrer que c’est une médiatrice.

Exercice 4 :

Considérons le point G barycentre de (A,1); (B,1) et (C,2)

$\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}=\vec{MG}+\vec{GA}+\vec{MG}+\vec{GB}+2\vec{MG}+2\vec{GC}=4\vec{MG}$

Considérons le point K barycentre de (B,1) et (C,3)

$\vec{MB}+3\vec{MC}=\vec{MK}+\vec{KB}+3\vec{MK}+3\vec{KC}=4\vec{MK}$

donc cela revient à chercher l’ensemble des points du plan tels que :

$,\|,4\vec{MG},,\|=,\|4\vec{MK},,\|$

$,\|,\vec{MG},,\|=,\|\vec{MK},,\|$

Conclusion : l’ensemble des points M est la médiatrice du segment [MK]

Exercice 5 :

1. On trace le repère et on place les points A(1,2), B(-3,4) et C(-2,5):

2. Pour trouver les coordonnées du barycentre G, on utilise la formule:

où xi et yi sont les coordonnées de chaque point pondéré, wi est son poids (c’est-à-dire le coefficient associé) et n est le nombre total de points.

On a donc:

On a donc G(– 3/3, 8/3), soit G(-1, 2.666…). On peut le placer dans le repère:

3. Pour savoir si la droite (BG) passe par l’origine, il suffit de vérifier si les coordonnées de l’origine (0,0) vérifient l’équation de la droite, c’est-à-dire si elles correspondent à des valeurs de x et y qui satisfont l’équation de la droite. L’équation de la droite (BG) peut être trouvée en utilisant les coordonnées de B et G:

On a donc une équation de la forme $y\,=\,mx\,+\,b$ , où m est le coefficient directeur (-2/3) et b est l’ordonnée à l’origine (8/3). Pour vérifier si l’origine appartient à la droite, on remplace x et y par 0 dans l’équation:

y = -2/3(x) + 8/3
y = 8/3

On voit que y est toujours égal à 8/3, quelle que soit la valeur de x. L’origine ne vérifie donc pas cette équation et ne fait pas partie de la droite (BG), qui ne passe donc pas par l’origine.

Exercice 6 :

Pour démontrer que G, C et E sont alignés, il suffit de montrer que la droite (GC) passe par le point E qui est le milieu de [AB].

Calculons les coordonnées de E, sachant que E est le milieu de [AB], donc que les coordonnées de E sont la moyenne des coordonnées de A et de B:

xe = (xa + xb)/2
ye = (ya + yb)/2

Calculons les coordonnées de G, sachant que G est le barycentre de (A,-2), (B,-2) et (C,15):

xg = (xa*-2 + xb*-2 + xc*15)/(-2-2+15) = (15xc – 4xa – 4xb)/11
yg = (ya*-2 + yb*-2 + yc*15)/(-2-2+15) = (15yc – 4ya – 4yb)/11

Nous allons montrer que la droite (GC) a pour équation y = kx + p où k et p sont à déterminer.

Soit C(xc, yc), G(xg, yg) et E(xe,ye). La pente de la droite (GC) est donc :

k = (yg-yc)/(xg-xc) = ((15yc – 4ya – 4yb)/11 – yc)/((15xc – 4xa – 4xb)/11 – xc)
k = (15yc – 4ya – 4yb – 11yc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc)
k = (11yc – 4ya – 4yb)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc)

Nous savons également que la droite (GC) passe par le point E, c’est-à-dire qu’elle vérifie l’équation :

ye = k*xe + p

Nous pouvons exprimer p en remplaçant xe, ye et k dans cette équation :

p = ye – k*xe

p = ((ya + yb)/2) – ((11yc – 4ya – 4yb)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc)) * ((xa + xb)/2)

p = (13ya + 13yb – 11yc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc)

Nous avons maintenant une expression pour k et une pour p. Nous allons montrer que la droite (GC) vérifie l’équation y = kx + p.

Soit un point P de la droite (GC) de coordonnées (xp, yp). Ce point vérifie l’équation (GC) :

yp = k*xp + p

En remplaçant k et p par leurs expressions précédentes, on obtient :

yp = (11yc – 4ya – 4yb)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc) * xp + (13ya + 13yb – 11yc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc)

Nous devons maintenant vérifier que ce point P appartient bien à la droite (GC). Pour cela, nous allons montrer que ce point vérifie l’équation du barycentre associé à G :

(-2)*AG + (-2)*BG + 15*CG = 0

En développant, cette équation devient :

(-2)*(xa + xp) + (-2)*(xb + xp) + 15*(xc + xp) = 0

-(2xa + 2xb – 15xc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc) * xp + (2xa + 2xb + 11xc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc) * xp = (2xa + 2xb – 15xc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc) * xp + (2xa + 2xb – 15xc)/(15xc – 4xa – 4xb – 11xc) * xp

En simplifiant, on obtient :

(2xa + 2xb – 15xc) * xp = (2xa + 2xb – 15xc) * xp

Cette équation est toujours vraie et donc P appartient bien à la droite (GC), ce qui prouve que la droite (GC) passe par le point E. Finalement, G, C et E sont alignés.

Exercice 7 :

Utilisons l’associativité du barycentre

Soit K barycentre de (A,1) (B,1) et L barycentre de (C,3) (D,3)

Les points K et L sont des isobarycentres donc ce sont les milieux de segments.

De plus ces trois barycentre existent car la somme de leurs masses est non nulle.

Par associativité du barycentre, G est le barycentre de (K,2) (L,6)

Pour construire G, il suffit de placer le point K milieu de [AB] et L milieu de [CD] .

$2\vec{GK}+6\vec{GL}=\vec{0}$

$2\vec{GL}+2\vec{LK}+6\vec{GL}=\vec{0}$

$8\vec{GL}=-2\vec{LK}$

$8\vec{GL}=2\vec{KL}$

$\vec{LG}=\frac{2}{8}\vec{LK}$

$\vec{LG}=\frac{1}{4}\vec{LK}$

Ensuite il suffit de placer le point K au quart du segment [LK] en partant du point L.

Exercice 8 :

Indication : utiliser l’associativité du barycentre.
ABCD est un quadrilatère.
On note G son isobarycentre.
Le but de cet exercice est de préciser la position de G.

1) On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD].

Montrer que G est le barycentre de I et J munis de coefficients que l’on précisera.

2) Conclure et faire une figure.

Exercice 9 :
1. Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochet G sur le segment [AB] pour réaliser l’équilibre ?
(M = 2 kg)

cas n° 1 :

Soit G le barycentre de (A,2) et (B,3)
G existe car $2+3=5\neq 0$
$2\vec{GA}+3\vec{GB}=\vec{0}$

$2\vec{GA}+3\vec{GA}+3\vec{AB}=\vec{0}$

$5\vec{GA}=-3\vec{AB}$

$\vec{GA}=-\frac{3}{5}\vec{AB}$

${\color{DarkRed} \vec{AG}= \frac{3}{5}\vec{AB}}$

Conclusion : il faut placer le crochet aux $\frac{3}{5}$ de [AB] en partant du point A.

Cas n° 2 :

Soit G le barycentre de (A,2) et (B,5)
G existe car $2+5=7\neq 0$
$2\vec{GA}+5\vec{GB}=\vec{0}$

$2\vec{GA}+5\vec{GA}+5\vec{AB}=\vec{0}$

$7\vec{GA}=-5\vec{AB}$

$\vec{GA}=-\frac{5}{7}\vec{AB}$

${\color{DarkRed} \vec{AG}= \frac{5}{7}\vec{AB}}$

Conclusion : il faut placer le crochet aux $\frac{5}{7}$ de [AB] en partant du point A.

On pourra reproduire ces schémas à l’échelle de son choix.

Exercice 10 :
1. Soit I le milieu de [BC].

Montrer que :

$\vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GI}$

En utilisant l’associativité du barycentre, on peut affirmer que

Nous avons donc :
$2\vec{GA}+2\vec{GI}=\vec{0}$
or
$2\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$ (définition du barycentre G)

donc

${\color{DarkRed} \vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GI}}$

2. En déduire que G est le barycentre de A et I munis de coefficients que l’on précisera.

3. Conclure.

$2\vec{GA}+2\vec{GI}=\vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{GA}+\vec{GI}=\vec{0}$

Conclusion : G est le milieu du segment [AI] .

Exercice 11 :

Indication : G est le milieu de [AI] et utiliser l’associativité du barycentre.
On considère un triangle ABC et l’on désigne par G le barycentre de (A ; 1), (B ; 4) et (C ; – 3).

1. Construire le barycentre I de (B ; 4) et (C ; – 3).

2. Montrer que $\vec{GA}+\vec{GI}=\vec{0}$ .

3. En déduire la position de G sur (AI).

Exercice 12 :
Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et G est le barycentre de (A ; – 2), (B ; – 2) et (C ; 15).

Démontrer que G, C et E sont alignés.

Tout d’abord le barycentre G existe car $-2-2+15=11\neq0$

Nous avons :

$-2\vec{GA}-2\vec{GB}+15\vec{GC}=\vec{0}$

et $\vec{AE}=\frac{1}{2}\vec{AB}$

Utilisons la relation de Chasles :

$-2\vec{GE}-2\vec{EA}-2\vec{GE}-2\vec{EB}+15\vec{GC}=\vec{0}$

$-2 (\vec{EA}+\vec{EB} )-4\vec{GE}+15\vec{GC}=\vec{0}$

or $\vec{EA}+\vec{EB}=\vec{0}$ car E milieu de [AB].

donc nous avons l’égalité :

$-4\vec{GE}+15\vec{GC}=\vec{0}$

$\vec{GC}=\frac{4}{15}\vec{GE}$

On en conclue que les vecteurs $\vec{GC}$ et $\vec{GE}$ sont colinéaires .

De plus le point G appartient à ces deux vecteurs

donc les points G,C et E sont alignés .

Exercice 13 :
B est le milieu de [AC].

Démontrer que le barycentre de (A ; 1) et (C ; 3) est confondu avec celui de (B ; 2) et (C ; 2).

Soit $H=bary \{ (A;1),(C;3) \}$ et $G=bary \{ (B;2),(C;2) \}$

Nous avons :

$\vec{HA}+3\vec{HC}=\vec{0}$

$2\vec{GB}+2\vec{GC}=\vec{0}$

soit
$\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$ et $\vec{HA}+3\vec{HA}+3\vec{AC}=\vec{0}$

$4\vec{HA}+3\vec{AC}=\vec{0}$

$\vec{GA}+\vec{AB}+\vec{GA}+\vec{AC}=\vec{0}$

en résumé :

$2\vec{GA}+\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{0}$ et $\vec{AH}=\frac{3}{4}\vec{AC}$

$2\vec{GA}+\frac{3}{2}\vec{AC}=\vec{0}$ (car B milieu de [AC] ) et $2\vec{AH}=\frac{3}{2}\vec{AC}$

ainsi :

$2\vec{GA}+2\vec{AH}=\vec{0}$

$2 (\vec{GA}+\vec{AH} )=\vec{0}$

$\vec{GA}+\vec{AH} =\vec{0}$

$\vec{GH} =\vec{0}$

Conclusion : les points G et H sont confondus .

Exercice 14 :
ABC est un triangle.

1. G est le barycentre de (A ; 1), (B ; 2) et (C ; 3). Construire le point G. Expliquer.

Utilisons l’associativité du barycentre.
G est le barycentre de (A,1) (I,5) avec I barycentre de (B,2) et (C,3)

2. G ‘ est le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3). Construire le point G ‘ . Expliquer.
Utilisons l’associativité du barycentre,
G’ est le barycentre de (K,4) et (C,-3) avec K barycentre de (A,1) et (B,3)

3. Démontrer que (AG’) est parallèle à (BC).

Indication : montrer que les vecteurs $\vec{AG'}$ et $\vec{BC}$ sont colinéaires.

Exercice 15 :

Tout d’abord G existe car $1+1+3+3=8\neq0$

Notons $I=bary {\(A;1),(B;1) \}$ et $J=bary {\(C;3),(D;3) \}$

Utilisons l’associativité du barycentre .

alors
$G=bary {\(I;2),(J;6) \}$

On place I qui est le milieu de [AB].
On place J le milieu de [CD]

ensuite :

$2\vec{GI}+6\vec{GJ}=\vec{0}$

$2\vec{GI}+6\vec{GI}+6\vec{IJ}=\vec{0}$

$8\vec{GI}=-6\vec{IJ}$

$\vec{IG}=\frac{6}{8}\vec{IJ}$

$\vec{IG}=\frac{3}{4}\vec{IJ}$

On divise le segment [IJ] en quatre parties égales
et on place le point G aux trois quarts de [IJ] en partant de I.

Exercice 16 :

1. Le point G étant le centre du carré ABCD, il est également le milieu de [AB] et de [BC]. On a donc GA = GB = 2 cm.

2. En utilisant le point G, on peut réécrire chacun des vecteurs $\vec{MA},\,\vec{MB},\,\vec{MC}$ , et $\vec{MD}$ comme la somme des vecteurs $\vec{GA},\,\vec{GB},\,\vec{GC}$ , et $\vec{GD}$ respectivement :

$\vec{MA}\,=\,\vec{GA}\,+\,\vec{GM}\,\\\\\vec{MB}\,=\,\vec{GB}\,+\,\vec{GM}\,\\\\\vec{MC}\,=\,\vec{GC}\,+\,\vec{GM}\,\\\\\,\vec{MD}\,=\,\vec{GD}\,+\,\vec{GM}$

En additionnant ces quatre expressions, on obtient :

$\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}\,=\,(\vec{GA}\,+\,\vec{GB}\,+\,\vec{GC}\,+\,\vec{GD})\,+\,4\vec{GM}$

Or, comme $\vec{GA}\,=\,\vec{GB}$ et $\vec{GC}\,=\,\vec{GD}$ , on a :

$\vec{GA}\,+\,\vec{GB}\,+\,\vec{GC}\,+\,\vec{GD}\,=\,2\vec{GA}\,+\,2\vec{GC}\,=\,4\vec{GG}\,=\,\vec{0}$

Donc :

$\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}\,=\,4\vec{GM}$

Et donc la somme peut être réduite à $4\vec{GM}$ .

3. On sait que $\|\,4\vec{GM}\|\,=\,8\sqrt{2},$ donc $\|\,\vec{GM}\|\,=\,2\sqrt{2}$ .

Donc les points M doivent être situés sur le cercle de centre G et de rayon 2\sqrt{2}. Cet ensemble de points est représenté par le cercle de centre G et de rayon 2\sqrt{2}, noté \Gamma_1.

4. On cherche les points M tels que $\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}+\vec{MD}$ soit colinéaire à \vec{AD}.

Or, $\vec{AD}\,=\,\vec{AA}$ , donc être colinéaire à $\vec{AD}$ signifie être colinéaire à la diagonale [AC].

Donc on cherche les points M tels que $\vec{MA}+\vec{MB}\,=\,\vec{MC}\,+\,\vec{MD}$ , ce qui est équivalent à $(\vec{MA}\,+\,\vec{MB})\,-\,(\vec{MC}\,+\,\vec{MD})\,=\,\vec{0}$ .

En utilisant les expressions précédentes pour $\vec{MA},\,\vec{MB},\,\vec{MC}$ , et \vec{MD}, on a :

$(\vec{GA}\,+\,\vec{GB}\,+\,\vec{GM})\,-\,(\vec{GC}\,+\,\vec{GD}\,+\,\vec{GM})\,=\,\vec{0}$

En simplifiant :

$2\vec{GA}\,-\,2\vec{GC}\,-\,2\vec{GM}\,=\,\vec{0}$

Or, comme dans la partie 2, on a $2\vec{GA}\,+\,2\vec{GC}\,=\,\vec{0}$ .

Donc :

$\vec{GM}\,=\,-\frac{1}{2}\vec{GA}$

Autrement dit, les points M doivent être situés sur la demi-droite de direction $\vec{GA}$ et qui part du point G. Cette demi-droite est représentée par la droite (GA’) où A’ est le symétrique de A par rapport à G.

L’ensemble de points M cherché est donc la demi-droite (GA’).

Exercice 17 :

1. Puisque E est le milieu de [AB], on peut exprimer son vecteur comme la moyenne des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{BA}$ :

$\vec{AE}\,=\,\frac{1}{2}(\vec{AB}\,+\,\vec{BA})\,=\,\frac{1}{2}(\vec{AB}\,-\,\vec{AB})\,=\,\vec{0}$

De même, on a $\vec{BE}\,=\,-\vec{AE}\,=\,\vec{0}$ . Donc E est barycentre des points A et B avec des coefficients non nuls, et on peut l’exprimer comme tel :

$E\,=\,\frac{1}{2}A\,+\,\frac{1}{2}B$

2. Pour démontrer que G, C, et E sont alignés, il suffit de montrer que la droite (GC) passe par E. Or, on peut exprimer les coordonnées de G en fonction de celles de A, B, et C :

$x_G\,=\,\frac{1}{11}(-2x_A\,-\,2x_B\,+\,15x_C)\,\\y_G\,=\,\frac{1}{11}(-2y_A\,-\,2y_B\,+\,15y_C)$

On peut exprimer les coordonnées de E en fonction de celles de A et B :

$x_E\,=\,\frac{1}{2}(x_A\,+\,x_B)\,\\y_E\,=\,\frac{1}{2}(y_A\,+\,y_B)$

On dit que G, C, et E sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{EG}$ et $\vec{EC}$ sont colinéaires, c’est-à-dire si la droite (GC) passe par E.

La pente de la droite (GC) est donnée par :

$m_{GC}\,=\,\frac{y_C\,-\,y_G}{x_C\,-\,x_G}$

En utilisant les expressions précédentes, on trouve :

$m_{GC}\,=\,\frac{11y_C\,+\,4y_A\,+\,4y_B}{11x_C\,+\,4x_A\,+\,4x_B}$

On doit donc vérifier que le point E se trouve sur cette droite, c’est-à-dire que :

$y_E\,-\,y_C\,=\,m_{GC}(x_E\,-\,x_C)$

Ce qui équivaut à :

$\frac{y_A\,+\,y_B}{2}\,-\,y_C\,=\,\frac{11y_C\,+\,4y_A\,+\,4y_B}{11x_C\,+\,4x_A\,+\,4x_B}\,\cdot\,(\frac{x_A\,+\,x_B}{2}\,-\,x_C)$

En développant :

$11y_A\,+\,11y_B\,-\,22y_C\,\\=\,4y_A\,x_C\,-\,4y_A\,x_B\,+\,4y_B\,x_C\,-\,4y_B\,x_A\,+\,11x_C\,y_C\,-\,11y_C\,x_C\,+\,4x_A\,y_C\,-\,4x_B\,y_C$

On peut réarranger les termes en séparant les x et les y pour obtenir :

$(11y_C\,-\,4x_A)\,x\,+\,(11x_C\,-\,22y_C\,+\,4y_A\,+\,4y_B)\,\\\\y\,=\,11y_A\,+\,11y_B\,-\,4y_A\,x_B\,-\,4y_B\,x_A$

On peut reconnaître une équation de droite de la forme y = kx + p, où k est la pente donnée précédemment et p est l’ordonnée à l’origine de la droite. On a donc :

$k\,=\,\frac{11x_C\,-\,22y_C\,+\,4y_A\,+\,4y_B}{11y_C\,-\,4x_A}\,\\\\p\,=\,\frac{11y_A\,+\,11y_B\,-\,4y_A\,x_B\,-\,4y_B\,x_A}{11y_C\,-\,4x_A}$

On doit maintenant vérifier que le point E se trouve sur cette droite, c’est-à-dire que :

$y_E\,=\,kx_E\,+\,p$

Ce qui équivaut à :

$\frac{y_A\,+\,y_B}{2}\,=\,\frac{11x_C\,-\,22y_C\,+\,4y_A\,+\,4y_B}{11y_C\,-\,4x_A}\,\times \,\frac{x_A\,+\,x_B}{2}\,+\,\frac{11y_A\,+\,11y_B\,-\,4y_A\,x_B\,-\,4y_B\,x_A}{11y_C\,-\,4x_A}$

En développant :

$22y_A\,+\,22y_B\,-\,11y_A\,x_B\,-\,11y_B\,x_A\\\,=\,4x_A\,y_C\,-\,4x_B\,y_C\,+\,11x_C\,y_C\,-\,22y_C\,x_C$

En réarrangeant les termes, on obtient :

$(22\,-\,11x_B)\,y_A\,+\,(-\,11\,x_A)\,y_B\,+\,(11\,x_C\,-\,22\,y_C)\,(y_A\,+\,y_B)\,\\=\,(4x_A\,-\,4x_B\,+\,11x_C)\,y_C\,-\,22\,y_C\,x_C$

On peut alors reconnaître une nouvelle équation de droite dans laquelle les coefficients de $y_A,\,y_B,\,y_C$ et x_C sont connus, tandis que les coefficients de et sont inconnus :

$(22\,-\,11x_B)\,y_A\,+\,(-\,11\,x_A)\,y_B\,+\,(11\,x_C\,-\,22\,y_C)\,y_C\\\,=\,(4x_A\,-\,4x_B\,+\,11x_C)\,y_C\,-\,22\,y_C\,x_C$

On peut voir que cette équation est vérifiée lorsque A et B sont choisis de telle sorte que les vecteurs $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$ soient colinéaires.

Dans tous les autres cas, cette équation n’est pas vérifiée, ce qui prouve que E ne se trouve pas sur la droite (GC) et donc que G, C et E ne sont pas alignés.

3. Étant donné que G, C et E ne sont pas alignés, C ne peut être le milieu de [EG].

Exercice 18 :

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3 cm.

1) Placer, en justifiant, le barycentre Z de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).

z existe car $1+3-3=1\neq 0$

$\vec{ZA}+3\vec{ZB}-3\vec{ZC}=\vec{0}$

$\vec{ZA}+ 3\vec{ZA}+ 3\vec{AB} -3\vec{ZA} -3\vec{AC}=\vec{0}$

$\vec{ZA} + 3\vec{AB} -3\vec{AC}=\vec{0}$

$\vec{ZA} + 3\vec{AB} +3\vec{CA}=\vec{0}$

$\vec{ZA} + 3\vec{CB} =\vec{0}$
$\vec{ZA}=- 3\vec{CB}$

$\vec{ZA}= 3\vec{BC}$

2) Montrer que les droites (AZ) et (BC) sont parallèles.

D’aprè précédemment, $\vec{ZA}= 3\vec{BC}$ .

Ces vecteurs étant colinéaires, nous avons donc (AZ) parallèle à (BC).

Exercice 19 :

Indication : utiliser le fait que G est l’isobarycentre du système {(A,1);(B,1);(C,1)}

et utilisez l’associativité du barycentre.

ABC est un triangle de centre de gravité G.

On note I, J, M, N, R et S les points définis par :

$\vec{AI}=\frac{1}{3}\vec{AB};\vec{AJ}=\frac{2}{3}\vec{AB};\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AC}\\\vec{AN}=\frac{2}{3}\vec{AC};\vec{BR}=\frac{1}{3}\vec{BC};\vec{BS}=\frac{2}{3}\vec{BC}$

Démontrer que les droites (IS), (MR) et (NJ) sont concourantes en G.

Exercice 20 :

Indication : on pourra considérer le barycentre G de (A ; 5), (B ; 2) et (C ; – 3).
ABC est un triangle.
On considère le barycentre A’ de (B ; 2) et (C ; – 3), le barycentre B ‘ de (A ; 5) et (C ; – 3)
et le barycentre C ‘ de (A ; 5) et (B ; 2).

Démontrer que les droites (AA ‘), (BB ‘) et (CC ‘) sont concourantes.

Exercice 21 :
ABC est un triangle. Soit G le barycentre de (A ; 1), (B ; 3) et (C ; – 3).

Démontrer que les droites (AG) et (BC) sont parallèles.

Tout d’abord le barycentre G existe car $1+3-3=1\neq0.$

Nous avons :

$\vec{GA}+3\vec{GB}-3\vec{GC}=\vec{0}$

Utilisons la relation de Chasles :

$\vec{GA}+3\vec{GB}-3\vec{GB}-3\vec{BC}=\vec{0}$

$\vec{GA}-3\vec{BC}=\vec{0}$

$\vec{GA}=3\vec{BC}$

Les vecteurs $\vec{GA}$ et $\vec{BC}$ sont donc colinéaires ainsi

les droites (AG) et (BC) sont parallèles.

Exercice 22 :

1. Placer dans un repère les points A(1 ; 2), B( – 3 ; 4) et C( – 2 ; 5).
Soit G le barycentre des points pondérés (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).

2. Quelles sont les coordonnées de G? Placer G.

3. La droite (BG) passe-t-elle par l’origine du repère ? Justifier.

Exercice 23 :

[AB] est un segment de longueur 10 cm et G bar {(A ; 2) , (B ; 3)}

1. Développez et réduire $2(\vec{MG}+\vec{GA})^2+3(\vec{MG}+\vec{GB})^2$

$=5MG^2+2GA^2+3GB^2+4\vec{MG}.\vec{GA}+6\vec{MG}.\vec{GB}$

2. Démontrez alors que pour tout point M du plan on a 2MA² + 3MB² = 5MG² + 120

3. Déterminez alors et représentez l’ensemble des points M du plan tels que 2MA² + 3MB² = 245

Exercice 24 :

Indication : utiliser la définition et les propriétés du barycentre.

A, B et C sont 3 points du plan non alignés et k un nombre réel quelconque.

I bar { (B ;1), (C ;2)} et G le barycentre de (A, k), (B, 1- k) et (C, 2)

1. Exprimer $\vec{IG}$ en fonction de $\vec{IA}$ , $\vec{IB}$ et $\vec{IC}$ .

2. Simplifier l’expression obtenue au 1. et en déduire l’ensemble (E) des points G lorsque k décrit $\mathbb{R}$ .

3. Représentez graphiquement (E) dans le cas AB = 5 cm, BC = 6 cm , AC = 5,5 cm

Exercice 25 :

Conseil : ne vous compliquez pas la vie avec des calculs infernaux, utilisez plutôt astucieusement

l’associativité barycentrique .

A, B, C et D sont quatre points distincts.

On note K le barycentre de (A, 3) (B, 1), J le milieu de [DC], G le centre de gravité de BCD et I le milieu de [AG].

Montrer que les points I, J et K sont alignés.

Exercice 26 :

Indications : utiliser les propriétés du barycentre et l’associativité.

ABC un triangle ; à tout réel m, on associe le point G_m barycentre de (A ; 2) ; (B ; m) et (C ; – m).

On note O le milieu de [BC].
1.Expliquer pourquoi G_m existe toujours et démontrer que, lorsque m décrit $\mathbb{R}$ , G_m décrit une droite D que vous préciserez.
2. a) Construisez G₂ et G_-2 . Avec AB= 4cm , AC = 3cm et BC = 6cm >
b) On suppose m différent de 2 et -2.
Soit G_m un point de D distinct de A, G₂ etG_-2 .
Démontrer que (BG_m) coupe (AC) en un point noté I et que (CG_m) coupe (AB) en un point noté J. >
3.Dans le repère $(A,\vec{AB},\vec{AC})$ , >
calculez en fonction de m les coordonnées de I et J. >
Déduisez-en que les points O, I et J sont alignés. >
(On pourra utiliser la condition analytique de colinéarité de 2 vecteurs) >

Exercice 27 :

Indication : utiliser le fait que le centre de gravité est un isobarycentre puis l’associativité du barycentre.

Soit ABC un triangle, A’ , B’ , et C’ les milieux des côtés opposés à A, B et C respectivement, M un point donné.

On note A₁, B₁et C₁les symétriques du point M par rapport à A’ , B’ , et C’ .

On désigne par M’ barycentre des points (A, 1) (B,1) (C,1) et (M,-1)
1. Montrer que les droites (AA₁) ; (BB₁) et (CC₁) sont concourantes en M ‘. >
2. Soit G le centre de gravité de ABC. Montrer que M ‘ , M et G sont alignés et préciser la position de M ‘ sur la droite (MG). >

Exercice 28 :
ABCD est un carré.

1. Quel est l’ensemble E des points M du plan tels que :

$\| 2\vec{MA}-\vec{MB}+\vec{MC} \|=AB$

Notons $G=bary \{(A,2),(B,-1),(C,1) \}$

G existe car $2-1+1=2\neq0$

$\| 2\vec{MA}-\vec{MB}+\vec{MC} \|=AB$

$\| 2\vec{MG}+2\vec{GA}-\vec{MG}-\vec{GB}+\vec{MG}+\vec{GC} \|=AB$

$\| 2\vec{MG}-\vec{MG}+\vec{MG}+2\vec{GA}-\vec{GB}+\vec{GC} \|=AB$

$\| 2\vec{MG}+\vec{0} \|=AB$ car $G=bary \{(A,2),(B,-1),(C,1) \}$

$2 \| \vec{MG} \|=AB$

$\| \vec{MG} \|=\frac{AB}{2}$

Conclusion : l’ensemble de points recherché est le cercle de centre G et de rayon $\frac{AB}{2}$ .

2. Représenter cet ensemble E.

Exercice 29 :
Soit ABCD un carré et K le barycentre des points pondérés (A ; 2), (B ; – 1), (C ; 2) et (D ; 1).

On note I le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; – 1), et J celui de (C ; 2) et (D ; 1).

1. Placer I et J en justifiant.
Tout d’abord les barycentre I et J existent car $2-1=1\neq0$ et $2+1=3\neq0$ .

$2\vec{IA}-\vec{IB}=\vec{0}$

$2\vec{IA}-\vec{IA}-\vec{AB}=\vec{0}$

$\vec{IA}=\vec{AB}$

Conclusion : I est le symétrique du point A par rapport à B ou A est le milieu de [IB].

$2\vec{JC}+\vec{JD}=\vec{0}$

$2\vec{JC}+\vec{JC}+\vec{CD}=\vec{0}$

$3\vec{JC}=-\vec{CD}$

$\vec{CJ}= \frac{1}{3}\vec{CD}$

Conclusion : J est situé aux un tiers de [CD] en partant de C.

2. Réduire l’écriture des vecteurs suivants :

$2\vec{KA}-\vec{KB}\,et\,2\vec{KC}+\vec{KD}.$

$2 \vec{KA}- \vec{KB}=2 \vec{KI}+2 \vec{IA}- \vec{KI}- \vec{IB}= \vec{KI}$

$2 \vec{KC}+ \vec{KD}=2 \vec{KJ}+2 \vec{JC}+\vec{KJ}+\vec{JD}= 3\vec{KJ}$

En déduire que K est le barycentre de (I ; 1) et (J ; 3).

prenons une des deux égalités :

$2 \vec{KA}- \vec{KB}= \vec{KI}$

$2 \vec{KA}- \vec{KB}-\vec{KI}=\vec{0}$

donc K est le barycentre de (I ; 1) et (J ; 3).

Exercice 30 :
Soit ABC un triangle et G un point vérifiant :

$\vec{AB}-4\vec{GA}-2\vec{GB}-3\vec{GC}=\vec{0}$

Le point G est-il le barycentre des points pondérés (A ; 5), (B ; 1) et (C ; 3) ? Justifier.

$\vec{AB}-4\vec{GA}-2\vec{GB}-3\vec{GC}=\vec{0}$

$\vec{AG}+\vec{GB}-4\vec{GA}-2\vec{GB}-3\vec{GC}=\vec{0}$

$-\vec{GA}+\vec{GB}-4\vec{GA}-2\vec{GB}-3\vec{GC}=\vec{0}$

$-5\vec{GA}-\vec{GB}-3\vec{GC}=\vec{0}$

Multiplions cette égalité vectorielle par – 1 .

$5\vec{GA}+\vec{GB}+3\vec{GC}=\vec{0}$

$G=bary \{(A;5),(B;1),(C;3) \}$

Exercice 31 :

Dans un repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ ,
1.Placer les points A(2 ; 1), B( – 1 ; 5), C(5 ; 7) et G(1 ; $\frac{5}{2}$ ).

2. Déterminer les coordonnés de l’isobarycentre I des points B et C.

3. Déterminer les coordonnées du centre de gravité H du triangle ABC.

indication : utiliser le fait que H est le barycentre de (A,1) (B,1) (C,1)

4. Existe-t-il un réel k tel que G soit barycentre de (A ; 1) et (B ; k) ? Justifier.

Exercice 32 :

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que BC = 8 cm et BA = 5 cm. Soit I le milieu de [BC].

1. Placer le point F tel que $\vec{BF}=-\frac{1}{3}\vec{BA}$ .

et montrer que F est le barycentre des points A et B pondérés par des réels que l’on déterminera.

Indication : insérer le Point F dans le vecteur $\vec{BA}$ puis transposer le tout dans le premier membre.
2. P étant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :

$\frac{1}{2}\vec{PB}+\frac{1}{2}\vec{PC}\\-\vec{PA}+2\vec{PB}\\2\vec{PB}-2\vec{PA}$

3. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :

Indication : considérer le barycentre de (B,1) (C,1) et le barycentre de (A,-1) (B,2)

$\|\frac{1}{2}\vec{MB}+\frac{1}{2}\vec{MC} \|= \| -\vec{MA}+2\vec{MB} \|$

4. Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan vérifiant :

$\|\vec{NB}+\vec{NC} \|= \| 2\vec{NB}-2\vec{NA} \|$

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