Corrigé du contrôle de maths 6ème : pré-algèbre, suites de nombres et motifs

Exercice 1 : Continuer une suite (4 points)

1. \(12 – 5 = 7\), \(19 – 12 = 7\), \(26 – 19 = 7\) : on ajoute 7 à chaque fois. \(26 + 7 = 33\) et \(33 + 7 = 40\). Les nombres suivants sont 33 et 40 ; la règle est « ajouter 7 ».
2. \(3 \times 2 = 6\), \(6 \times 2 = 12\), \(12 \times 2 = 24\) : on multiplie par 2 à chaque fois. \(24 \times 2 = 48\) et \(48 \times 2 = 96\). Les nombres suivants sont 48 et 96 ; la règle est « multiplier par 2 ».
3. \(100 – 91 = 9\), \(91 – 82 = 9\), \(82 – 73 = 9\) : on enlève 9 à chaque fois. \(73 – 9 = 64\) et \(64 – 9 = 55\). Les nombres suivants sont 64 et 55 ; la règle est « soustraire 9 ».
4. Les écarts sont 3, puis 5, puis 7 : on ajoute les nombres impairs successifs. Les écarts suivants sont 9 et 11, donc \(16 + 9 = 25\) et \(25 + 11 = 36\). On peut aussi remarquer que \(1 = 1 \times 1\), \(4 = 2 \times 2\), \(9 = 3 \times 3\), \(16 = 4 \times 4\). Les nombres suivants sont 25 et 36 ; ce sont les produits \(5 \times 5\) et \(6 \times 6\).

Erreur fréquente : en b), croire qu’on ajoute 3 parce que \(6 = 3 + 3\). Il faut contrôler la règle sur tous les termes donnés : \(6 + 3 = 9\), et non 12.

Barème : pour chaque suite, 0,5 point pour les deux nombres, 0,5 point pour la règle expliquée en phrase.

Exercice 2 : Le motif d’allumettes (5 points)

1. On passe de 4 à 7, puis de 7 à 10 : on ajoute 3 allumettes à chaque étape. \(10 + 3 = 13\) et \(13 + 3 = 16\). Il faut 13 allumettes à l’étape 4 et 16 allumettes à l’étape 5.
2. Le nouveau carré utilise le côté droit du carré précédent : il ne faut que 3 nouvelles allumettes (une en haut, une en bas, une à droite). On passe d’une étape à la suivante en ajoutant 3 allumettes.
3. On part de 4 allumettes à l’étape 1 et on ajoute 3 allumettes 9 fois pour arriver à l’étape 10 : \(4 + 9 \times 3 = 4 + 27 = 31\). Il faut 31 allumettes à l’étape 10.
4. À l’étape n, il y a n carrés. On peut voir une allumette de départ (le côté gauche du premier carré), puis 3 allumettes par carré. À l’étape n, il faut \(3 \times n + 1\) allumettes.
   Vérification : \(3 \times 1 + 1 = 4\), \(3 \times 2 + 1 = 7\), \(3 \times 3 + 1 = 10\) et \(3 \times 10 + 1 = 31\).
5. \(3 \times 100 + 1 = 300 + 1 = 301\). Il faut 301 allumettes à l’étape 100.
6. Il faudrait \(3 \times n + 1 = 50\), donc \(3 \times n = 49\). Or \(3 \times 16 = 48\) et \(3 \times 17 = 51\) : 49 n’est pas dans la table de 3. Hugo a tort : aucune étape n’utilise exactement 50 allumettes (l’étape 16 en utilise 49 et l’étape 17 en utilise 52).

Barème : a) 0,5 point par nombre ; b) 1 point pour la phrase (0,5 point si la raison du « + 3 » n’est pas donnée) ; c) 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour 31 ; d) 1 point pour \(3 \times n + 1\) ; e) 0,5 point ; f) 0,5 point pour la réponse justifiée.

Exercice 3 : Une bordure de carreaux (4 points)

1. À l’étape n, le rectangle a 3 rangées de \(n + 2\) carreaux ; on retire les n carreaux blancs.
   Étape 2 : \(3 \times 4 – 2 = 12 – 2 = 10\).
   Étape 3 : \(3 \times 5 – 3 = 15 – 3 = 12\).
   Étape 4 : \(3 \times 6 – 4 = 18 – 4 = 14\).
   Il y a 10 carreaux gris à l’étape 2, 12 à l’étape 3 et 14 à l’étape 4.
2. On ajoute 2 carreaux gris à chaque étape. De l’étape 4 à l’étape 10, il y a 6 étapes : \(14 + 6 \times 2 = 14 + 12 = 26\).
   Autre méthode : \(3 \times 12 – 10 = 36 – 10 = 26\).
   Il y a 26 carreaux gris à l’étape 10.
3. Pour \(n = 5\) : \(2 \times 5 + 6 = 10 + 6 = 16\) et \(2 \times (5 + 3) = 2 \times 8 = 16\). Les deux formules donnent 16.
   Explication de la formule de Léo : au-dessus des n carreaux blancs, il y a une rangée de n carreaux gris, et au-dessous aussi, ce qui fait \(2 \times n\) carreaux. À chaque bout de la figure, il reste une colonne de 3 carreaux gris, soit \(3 + 3 = 6\) carreaux. Il y a donc bien \(2 \times n + 6\) carreaux gris.

   

4. On cherche n tel que \(2 \times n + 6 = 50\).
   \(50 – 6 = 44\), donc \(2 \times n = 44\), et \(44 : 2 = 22\).
   Vérification : \(2 \times 22 + 6 = 44 + 6 = 50\).
   C’est à l’étape 22 qu’on utilise exactement 50 carreaux gris.

Barème : a) 1 point si les trois nombres sont justes (0,5 point pour deux) ; b) 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour 26 ; c) 0,5 point pour les deux calculs avec \(n = 5\), 0,5 point pour l’explication de \(2 \times n\) et du 6 ; d) 0,5 point pour la démarche, 0,5 point pour l’étape 22.

Exercice 4 : Programme de calcul (4 points)

1. Avec 5 : \(5 \times 4 = 20\) puis \(20 + 3 = 23\). Avec 12 : \(12 \times 4 = 48\) puis \(48 + 3 = 51\). On obtient 23 avec 5, et 51 avec 12.
2. \(2{,}5 \times 4 = 10\) puis \(10 + 3 = 13\). On obtient 13.
3. Le nombre n est multiplié par 4, ce qui donne \(4 \times n\), puis on ajoute 3. Le résultat est \(4 \times n + 3\).
4. On remonte le programme en faisant les opérations inverses dans l’ordre inverse : on enlève 3, puis on divise par 4.
   \(43 – 3 = 40\) puis \(40 : 4 = 10\).
   Vérification : \(10 \times 4 + 3 = 43\).
   Emma avait choisi le nombre 10.

Erreur fréquente : en d), diviser 43 par 4 avant d’enlever 3. Il faut défaire d’abord la dernière étape du programme.

Barème : a) 0,5 point par résultat ; b) 0,5 point pour \(2{,}5 \times 4 = 10\), 0,5 point pour 13 ; c) 1 point pour \(4 \times n + 3\) (on accepte \(4n + 3\)) ; d) 0,5 point pour la démarche à l’envers, 0,5 point pour 10.

Exercice 5 : La tirelire de Nina (3 points)

1. \(15 + 4 = 19\), \(19 + 4 = 23\), \(23 + 4 = 27\). Nina aura 19 € au bout de 1 semaine, 23 € au bout de 2 semaines et 27 € au bout de 3 semaines.
2. Au bout de n semaines, Nina a ajouté n fois 4 €, soit \(4 \times n\) euros, à ses 15 € de départ. La tirelire contient \(15 + 4 \times n\) euros.
3. Il lui manque au départ \(75 – 15 = 60\) €. Elle économise 4 € par semaine : \(60 : 4 = 15\).
   Vérification : \(15 + 4 \times 15 = 15 + 60 = 75\). Au bout de 14 semaines, elle n’a que \(15 + 4 \times 14 = 15 + 56 = 71\) €.
   Nina pourra acheter son jeu au bout de 15 semaines.

Barème : a) 0,5 point pour les trois sommes ; b) 1 point pour \(15 + 4 \times n\) ; c) 0,5 point pour \(75 – 15 = 60\), 0,5 point pour \(60 : 4 = 15\), 0,5 point pour la phrase-réponse.

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