Corrigé du contrôle de maths 6ème : multiples, diviseurs et divisibilité

Exercice 1 : Vrai ou faux sur multiples et diviseurs (4 points)

1. \(7 \times 8 = 56\), donc 56 est dans la table de 7. L’affirmation est vraie : 56 est un multiple de 7.
2. On effectue la division euclidienne de 45 par 6 : \(45 = 6 \times 7 + 3\). Le reste vaut 3, il n’est pas nul. L’affirmation est fausse : 6 n’est pas un diviseur de 45.
3. \(12 \times 8 = 96\), donc la division de 96 par 12 tombe juste. L’affirmation est vraie : 96 est divisible par 12.
4. Les multiples de 36 sont 0 ; 36 ; 72 ; 108 ; etc. Le nombre 9 n’en fait pas partie. En revanche \(9 \times 4 = 36\) : c’est 36 qui est un multiple de 9. L’affirmation est fausse.

Erreur fréquente : confondre « 9 est un diviseur de 36 » (vrai) et « 9 est un multiple de 36 » (faux). Un multiple non nul d’un nombre est toujours plus grand que ce nombre ou égal à lui.

Barème : 1 point par affirmation, soit 0,5 point pour la réponse « vrai » ou « faux » et 0,5 point pour le calcul qui la justifie. Une réponse sans justification rapporte 0,5 point au plus.

Exercice 2 : Critères de divisibilité par 2, 5 et 10 (4 points)

1. Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. Les nombres divisibles par 2 sont 130 ; 512 ; 1 000 ; 7 890 et 68.
2. Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Les nombres divisibles par 5 sont 130 ; 245 ; 1 000 ; 7 890 et 4 055.
3. Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. Les nombres divisibles par 10 sont 130 ; 1 000 et 7 890.
4. Pour être divisible par 2, le chiffre des unités doit être 0, 2, 4, 6 ou 8. Pour être divisible par 5, il doit être 0 ou 5. Le seul chiffre qui convient aux deux conditions est 0. Il n’y a qu’une possibilité : 470.

Barème : a), b) et c) 1 point chacune, retirer 0,5 point par nombre oublié ou en trop (sans descendre sous 0) ; d) 0,5 point pour le résultat 470, 0,5 point pour la justification par les deux critères.

Exercice 3 : Liste des diviseurs (4 points)

1. On cherche les produits égaux à 36 :
   \(36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6\).
   5 ne divise pas 36 car \(36 = 5 \times 7 + 1\). Les diviseurs de 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.
2. De même :
   \(48 = 1 \times 48 = 2 \times 24 = 3 \times 16 = 4 \times 12 = 6 \times 8\).
   5 et 7 ne divisent pas 48 car \(48 = 5 \times 9 + 3\) et \(48 = 7 \times 6 + 6\). Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48.
3. On garde les nombres présents dans les deux listes. Les diviseurs communs à 36 et 48 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12, et le plus grand est 12.

Barème : a) et b) 1,5 point chacune, retirer 0,5 point par diviseur oublié ou faux ; c) 0,5 point pour la liste des diviseurs communs, 0,5 point pour 12.

Exercice 4 : Nombres premiers (3 points)

1. 17 n’est dans aucune table de 2 à 16 (par exemple \(17 = 2 \times 8 + 1\) et \(17 = 3 \times 5 + 2\)) : ses seuls diviseurs sont 1 et 17. 17 est premier.

   \(21 = 3 \times 7\) : 21 a aussi pour diviseurs 3 et 7. 21 n’est pas premier.

   29 n’est dans aucune table de 2 à 28 (par exemple \(29 = 2 \times 14 + 1\), \(29 = 3 \times 9 + 2\) et \(29 = 5 \times 5 + 4\)) : ses seuls diviseurs sont 1 et 29. 29 est premier.

   \(49 = 7 \times 7\) : 49 a trois diviseurs, 1 ; 7 et 49. 49 n’est pas premier.

2. On teste les nombres de 2 à 19 : 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 et 18 sont divisibles par 2, 9 et 15 sont divisibles par 3, et 1 n’a qu’un seul diviseur. Les nombres premiers inférieurs à 20 sont 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 et 19.

Erreur fréquente : croire que 1 est premier. Il n’a qu’un seul diviseur, lui-même, et non deux.

Barème : a) 0,5 point par nombre (réponse et justification) ; b) 1 point, retirer 0,5 point par nombre oublié ou en trop.

Exercice 5 : Ranger les chaises de la salle (5 points)

1. \(60 = 8 \times 7 + 4\) : la division de 60 par 8 a un reste de 4, donc 8 n’est pas un diviseur de 60. Non, il ne peut pas faire des rangées de 8 chaises : il resterait 4 chaises.
2. Le nombre de rangées et le nombre de chaises par rangée sont deux diviseurs de 60 dont le produit vaut 60 :
   \(60 = 1 \times 60 = 2 \times 30 = 3 \times 20 = 4 \times 15 = 5 \times 12 = 6 \times 10\).
   On garde les produits où les deux nombres valent au moins 4. Il y a six dispositions : 4 rangées de 15 chaises, 15 rangées de 4 chaises, 5 rangées de 12 chaises, 12 rangées de 5 chaises, 6 rangées de 10 chaises et 10 rangées de 6 chaises.
3. Le nombre total de chaises doit être un multiple de 7 au moins égal à 66.
   \(7 \times 9 = 63\), et 63 est inférieur à 66 : il manquerait 3 places.
   \(7 \times 10 = 70\), et 70 est supérieur à 66 : c’est le plus petit multiple de 7 qui convient.
   \(70 – 60 = 10\). Le principal doit ajouter au minimum 10 chaises, pour faire 10 rangées de 7 chaises.

Barème : a) 0,5 point pour la division, 0,5 point pour la conclusion ; b) 1 point pour les produits égaux à 60, 1 point pour les six dispositions (0,5 point si seulement trois sont trouvées, par exemple en oubliant d’inverser rangées et chaises) ; c) 1 point pour le choix de 70 comme plus petit multiple de 7 supérieur ou égal à 66, 0,5 point pour la soustraction, 0,5 point pour la phrase-réponse.

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Après le corrigé du contrôle : multiples, diviseurs et divisibilité

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