Corrigé du contrôle de maths 6ème : division euclidienne

Exercice 1 : Vocabulaire et égalité de la division (4 points)

1. Dans \(157 = 12 \times 13 + 1\), on divise 157 par 12 et le reste 1 est bien inférieur à 12.
   Le dividende est 157, le diviseur est 12, le quotient est 13 et le reste est 1.
2. Le calcul est juste : \(7 \times 13 + 9 = 91 + 9 = 100\).
   Pour la division par 7 : le reste doit être strictement inférieur au diviseur, or \(9 > 7\). Ce n’est pas la division euclidienne de 100 par 7 (on peut encore mettre 7 dans 9 ; la bonne égalité est \(100 = 7 \times 14 + 2\)).
   Pour la division par 13 : on a \(100 = 13 \times 7 + 9\) avec \(9 < 13\). C’est bien la division euclidienne de 100 par 13 : le quotient est 7 et le reste est 9.

Erreur fréquente : penser qu’une égalité juste suffit. Pour une division euclidienne, il faut aussi vérifier que le reste est plus petit que le diviseur.

Barème : a) 0,5 point par mot juste ; b) 1 point par division : 0,5 point pour la réponse, 0,5 point pour la justification par la comparaison du reste et du diviseur.

Exercice 2 : Poser des divisions euclidiennes (5 points)

1. D’abord, en 24 dizaines, il y a 3 fois 7 (21), il reste 3 dizaines. Ensuite, en 35 unités, il y a 5 fois 7, il reste 0. Le quotient est 35 et le reste 0.
   \(245 = 7 \times 35 + 0\) : la division tombe juste, 245 est un multiple de 7.
2. En 53 dizaines, il y a 8 fois 6 (48), il reste 5 dizaines. Puis, en 58 unités, il y a 9 fois 6 (54), il reste 4.
   \(538 = 6 \times 89 + 4\), avec \(4 < 6\) : le quotient est 89 et le reste est 4.
3. En 100 dizaines, il y a 4 fois 23 (92), il reste 8 dizaines. Ensuite, en 80 unités, il y a 3 fois 23 (69), il reste 11.
   \(1\,000 = 23 \times 43 + 11\), avec \(11 < 23\) : le quotient est 43 et le reste est 11.
   Vérification : \(23 \times 43 = 989\) et \(989 + 11 = 1\,000\).
   Les divisions b) et c) posées (quotient en bleu, reste en rouge) :

   

4. En 30 centaines, il y a 2 fois 15, il reste 0. Ensuite, en 4 dizaines, il y a 0 fois 15, il reste 4 dizaines. Enfin, en 47 unités, il y a 3 fois 15 (45), il reste 2.
   \(3\,047 = 15 \times 203 + 2\), avec \(2 < 15\) : le quotient est 203 et le reste est 2.

Erreur fréquente : oublier le 0 au quotient de \(3\,047 : 15\) et trouver 23. L’ordre de grandeur \(3\,000 : 15 = 200\) montre que le quotient a trois chiffres.

Barème : a) 1 point ; b) 1,5 point : 1 point pour la division posée juste, 0,5 point pour l’égalité ; c) 1,5 point : 1 point pour la division posée juste, 0,5 point pour l’égalité ; d) 1 point.

Exercice 3 : Cars et boîtes de macarons (4 points)

1. On effectue la division euclidienne de 158 par 45 : \(158 = 45 \times 3 + 23\), avec \(23 < 45\). Trois cars transportent 135 élèves, mais il reste 23 élèves à placer : il faut un car de plus. \(3 + 1 = 4\).
   Il faut réserver au minimum 4 cars.

   

2. On effectue la division euclidienne de 250 par 12 : \(250 = 12 \times 20 + 10\), avec \(10 < 12\).
   La pâtissière remplit 20 boîtes complètes et il reste 10 macarons en dehors des boîtes.

Erreur fréquente : répondre 3 cars en a). Le quotient donne le nombre de cars pleins, mais le reste représente des élèves qui doivent eux aussi voyager.

Barème : a) 2 points : 1 point pour la division juste, 1 point pour l’interprétation du reste et la réponse 4 cars ; b) 2 points : 1 point pour la division juste, 0,5 point pour le nombre de boîtes, 0,5 point pour le nombre de macarons restants.

Exercice 4 : Des quotients décimaux (4 points)

1. \(47 = 4 \times 11 + 3\). On continue : 3 unités font 30 dixièmes, \(30 = 4 \times 7 + 2\) ; 2 dixièmes font 20 centièmes, \(20 = 4 \times 5\). \(47 : 4 = 11{,}75\) (vérification : \(4 \times 11{,}75 = 47\)).
2. \(73 = 6 \times 12 + 1\). On abaisse le 8 : 18 dixièmes, \(18 = 6 \times 3\). \(73{,}8 : 6 = 12{,}3\) (vérification : \(6 \times 12{,}3 = 73{,}8\)).
3. \(9 = 8 \times 1 + 1\) ; 10 dixièmes : \(10 = 8 \times 1 + 2\) ; 20 centièmes : \(20 = 8 \times 2 + 4\) ; 40 millièmes : \(40 = 8 \times 5\). \(9 : 8 = 1{,}125\) (vérification : \(8 \times 1{,}125 = 9\)).
4. \(86 : 5\) : \(86 = 5 \times 17 + 1\) ; 1 unité fait 10 dixièmes, \(10 = 5 \times 2\). Donc \(86 : 5 = 17{,}2\). Chacun doit payer \(17{,}20\) €.

Barème : 1 point par question : 0,5 point pour la division posée, 0,5 point pour le quotient juste (et la phrase-réponse avec l’unité en d).

Exercice 5 : Retrouver le dividende et le jour (3 points)

1. Dividende = diviseur × quotient + reste : \(9 \times 14 + 5 = 126 + 5 = 131\). Le reste 5 est bien inférieur à 9. Le dividende est 131.
2. Les jours de la semaine reviennent tous les 7 jours. On effectue la division euclidienne de 100 par 7 : \(100 = 7 \times 14 + 2\), avec \(2 < 7\). Dans 98 jours, soit 14 semaines complètes, nous serons encore un lundi ; il reste alors 2 jours : lundi, puis mardi, puis mercredi.
   Dans 100 jours, nous serons un mercredi.

Barème : a) 1 point ; b) 2 points : 1 point pour la division de 100 par 7, 0,5 point pour l’interprétation du reste, 0,5 point pour la réponse « mercredi ».

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Après le corrigé du contrôle : division euclidienne

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