La division euclidienne posée dans un cours de maths au CM1 : poser une division par un puis par deux chiffres, chercher chaque chiffre du quotient et vérifier avec l’égalité euclidienne.
L’essentiel : Dans la division euclidienne de \(a\) par \(b\), on écrit \(a=b\times q+r\) avec le reste \(r\lt b\). Pour la poser, on cherche chaque chiffre du quotient en partant de la gauche, on multiplie, on soustrait puis on abaisse le chiffre suivant. Ainsi \(487=12\times 40+7\), avec \(7<12\).
I. Rappel de l’égalité euclidienne
Propriété :
\( a = b \times q + r \) avec \( r < b \) : le dividende \( a \), le diviseur \( b \), le quotient \( q \) et le reste \( r \).
Attention :
Le reste doit toujours être strictement plus petit que le diviseur. Sinon, le quotient trouvé est trop petit.
II. Diviser par un chiffre
Méthode :
On divise chiffre après chiffre, de gauche à droite : à chaque étape on divise, on multiplie, on soustrait, puis on abaisse le chiffre suivant.
Exemple :
\( 4\,275 : 6 \) : \( 42 : 6 = 7 \) reste 0 ; j’abaisse le 7, \( 7 : 6 = 1 \) reste 1 ; j’abaisse le 5, \( 15 : 6 = 2 \) reste 3.
Quotient \( 712 \), reste \( 3 \). Vérification : \( 6 \times 712 + 3 = 4\,275 \).
Quotient \( 712 \), reste \( 3 \). Vérification : \( 6 \times 712 + 3 = 4\,275 \).
III. Le zéro au quotient
Attention :
Si le nombre obtenu après un abaissement est plus petit que le diviseur, on écrit 0 au quotient avant d’abaisser le chiffre suivant.
Exemple :
\( 6\,024 : 6 \) : \( 6 : 6 = 1 \) ; \( 0 : 6 = 0 \) ; \( 2 : 6 = 0 \) ; \( 24 : 6 = 4 \). Quotient : \( 1\,004 \).
IV. Diviser par deux chiffres
Méthode :
On procède de la même façon, mais chaque chiffre du quotient se cherche par essais : on estime combien de fois le diviseur tient dans le nombre courant, en s’aidant d’un arrondi du diviseur.
Exemple :
\( 1\,058 : 23 \) : \( 23 \approx 20 \), et \( 105 : 20 \approx 5 \). On essaie 4 : \( 23 \times 4 = 92 \), reste 13 ; j’abaisse le 8, j’ai 138 ; \( 23 \times 6 = 138 \), reste 0.
Quotient \( 46 \), reste \( 0 \).
Quotient \( 46 \), reste \( 0 \).
Méthode :
Si l’essai donne un produit trop grand, on diminue d’une unité ; s’il laisse un reste supérieur au diviseur, on augmente d’une unité.
V. Interpréter le reste
Dans un problème, le reste change la réponse selon la question posée : pour « combien de boîtes pleines ? », on garde le quotient ; pour « combien de boîtes faut-il ? », on ajoute 1 s’il y a un reste.
Ce qu’il faut retenir
- \( a = b \times q + r \) avec \( r < b \).
- Diviser, multiplier, soustraire, abaisser.
- Un nombre trop petit après abaissement donne un 0 au quotient.
- On interprète toujours le reste selon la question.
Pour aller plus loin au CM1
- S’entrainer : exercices corrigés sur la division posée au CM1
- Chapitre précédent : La multiplication posée par deux chiffres
- Chapitre suivant : Les fractions : sens et écriture
- Tous les cours de maths au CM1 et tous les exercices de maths au CM1
- Toute la classe de CM1 en maths · Les maths à l’école primaire
Vérifier que la leçon est comprise
Une fois cette leçon lue, le QCM sur la division posée au CM1 permet de contrôler en dix questions ce qui est réellement acquis, avec une correction expliquée après chaque réponse. Les autres chapitres sont réunis sur les QCM de CM1.
