Suite définie par récurrence : définition
Au programme de 1re
Définition
Une suite est définie par récurrence lorsque chaque terme se calcule à partir du terme précédent, à l'aide d'une relation et d'un premier terme.
Notation : $\begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = f(u_n) \end{cases}$
En clair
C'est une définition « de proche en proche » : pour connaître le dixième terme, il faut calculer les neuf premiers.
Ce qu'il faut retenir
- Le premier terme est indispensable : sans lui, la suite n'est pas définie.
- Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1} = u_n + r$, une suite géométrique $u_{n+1} = q\,u_n$.
- On construit les premiers termes « en escalier » sur un graphique, à l'aide de la courbe de $f$ et de la droite $y = x$.
- L'algorithmique se prête bien aux suites récurrentes : une boucle calcule les termes successifs.
- La démonstration par récurrence est l'outil pour prouver une propriété valable pour tous les termes.
Exemple
$u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 2u_n - 1$ donnent $u_1 = 5$, $u_2 = 9$, $u_3 = 17$.
À ne pas confondre avec
- Formule explicite — l'explicite permet le calcul direct.
- Raisonnement par récurrence — le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration.
Réviser cette notion sur Mathovore
- Synthèse de coursSuites numériques
- Synthèse de coursSuites : récurrence et limites
- Fiche méthodeComment calculer la somme des termes d'une suite ?
- Cours completLes suites numériques : cours de maths en 1ère en PDF
- Exercices corrigésSuites : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF
- QCM en ligneLes suites numériques : QCM de maths en 1ère pour réviser son cours
Termes liés
Formule explicite Raisonnement par récurrence Suite numérique Suite arithmétique Suite géométrique Algorithme Raison d'une suite Somme des termes d'une suite Suite croissante Terme d'une suite
Questions fréquentes sur « suite définie par récurrence »
Comment calculer les termes d'une suite récurrente ?
On part du premier terme, puis on applique la relation de récurrence autant de fois que nécessaire.