Terminale · Fiche méthode 7 sur 12 · Intégration
Comment calculer une intégrale ?
On cherche une primitive $F$ de la fonction, puis on applique $\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b)-F(a)$. La constante d'intégration se simplifie : inutile de l'écrire.
La méthode en 5 étapes
1Vérifier la continuité
La fonction doit être continue sur $[a\,;b]$. Une valeur interdite à l'intérieur de l'intervalle rend l'intégrale impossible à calculer ainsi.
2Déterminer une primitive
Avec les formes de référence ou les formes en $u$. On peut choisir $C = 0$, puisque la constante disparaît dans la soustraction.
3Appliquer le théorème fondamental
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b)-F(a)$, en respectant l'ordre : borne du haut moins borne du bas.
4Calculer proprement
On garde la valeur exacte ($\ln 3$, $\mathrm{e}^2-1$) avant de donner une valeur approchée si elle est demandée.
5Interpréter
Si $f\ge 0$ sur $[a\,;b]$, l'intégrale est l'aire sous la courbe, en unités d'aire. La valeur moyenne de $f$ vaut $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.
Un exemple entièrement résolu
Calculer $I = \displaystyle\int_0^2 (3x^2+1)\,\mathrm{d}x$ et $J = \displaystyle\int_1^{\mathrm{e}}\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$.
$F(x) = x^3+x$.
$I = \big[x^3+x\big]_0^2 = (8+2)-(0+0) = 10$.
Sur $[1\,;\mathrm{e}]$, une primitive de $\dfrac{1}{x}$ est $\ln x$.
$J = \big[\ln x\big]_1^{\mathrm{e}} = \ln\mathrm{e}-\ln 1 = 1-0 = 1$.
Conclusion. $I = 10$ et $J = 1$. Comme les deux fonctions sont positives sur leurs intervalles, ces nombres sont les aires sous les courbes, en unités d'aire.
Les erreurs à ne pas faire
- Inverser les bornes : $F(a)-F(b)$ donne l'opposé du résultat.
- Oublier que l'intégrale d'une fonction négative est négative : l'aire, elle, est l'opposé de l'intégrale.
- Intégrer sur un intervalle contenant une valeur interdite, par exemple $\dfrac{1}{x}$ entre $-1$ et $1$.
- Ajouter la constante $C$ dans le calcul : elle se simplifie systématiquement.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer $\displaystyle\int_1^3 (2x-4)\,\mathrm{d}x$.
Voir le corrigé
Primitive : $x^2-4x$. Puis $(9-12)-(1-4) = -3+3 = 0$.
L'intégrale vaut $0$ : les aires au-dessus et au-dessous de l'axe se compensent exactement.
- Exercice 2
Calculer $\displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{2x}\,\mathrm{d}x$.
Voir le corrigé
Primitive : $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}$.
$\left[\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}\right]_0^1 = \dfrac{\mathrm{e}^2}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\mathrm{e}^2-1}{2}\approx 3{,}19$.
- Exercice 3
Calculer la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;3]$.
Voir le corrigé
$\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9$.
Valeur moyenne : $\dfrac{1}{3-0}\times 9 = 3$.
Questions fréquentes
Intégrale et aire, est-ce la même chose ?
Seulement si la fonction est positive sur l'intervalle. Sinon, l'intégrale compte négativement les portions situées sous l'axe. Pour obtenir l'aire géométrique, on découpe l'intervalle selon le signe de $f$ et on prend les valeurs absolues.
Qu'est-ce que l'intégration par parties ?
La formule $\displaystyle\int_a^b u'v = \big[uv\big]_a^b-\displaystyle\int_a^b uv'$, qui transforme une intégrale difficile en une plus simple. On l'utilise notamment pour $x\mathrm{e}^x$ ou $\ln x$, quand aucune primitive n'apparaît directement.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Intégration en Terminale, voici le reste des ressources du site :