Logique, démonstration et algorithmique
Équivalence : définition
Au programme de 2nde
Définition
Deux propositions sont équivalentes lorsque chacune implique l'autre : elles sont vraies exactement dans les mêmes cas.
Notation : $A \Longleftrightarrow B$.
En clair
C'est « si et seulement si » : les deux affirmations disent la même chose.
Ce qu'il faut retenir
- $A \Longleftrightarrow B$ signifie $A \Longrightarrow B$ et $B \Longrightarrow A$.
- Les caractérisations (« un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si… ») sont des équivalences.
- Résoudre une équation revient à écrire une suite d'équivalences.
- Un passage au carré n'est pas une équivalence : il peut créer des solutions supplémentaires.
Exemple
$2x - 6 = 0 \Longleftrightarrow 2x = 6 \Longleftrightarrow x = 3$ : chaque étape est réversible, donc l'ensemble des solutions est conservé.
À ne pas confondre avec
- Implication — l'implication ne fonctionne que dans un sens.
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Termes liés
Implication Réciproque Contraposée Résoudre une équation Équation Disjonction de cas Fonction (en programmation) Affectation Algorithme Boucle
Questions fréquentes sur « équivalence »
Que signifie « si et seulement si » ?
Que les deux propositions s'impliquent mutuellement : elles sont vraies dans exactement les mêmes situations.