Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue ; son espérance est la moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.
Définition — variable aléatoire, loi
Une variable aléatoire $X$ est une fonction de l'univers vers $\mathbb R$. Sa loi est la donnée des valeurs $x_i$ et des probabilités $p_i = P(X = x_i)$, avec $\sum p_i = 1$.
Jeu : on gagne $5$ € avec probabilité $0{,}2$, on perd $2$ € sinon. $E(X) = 0{,}2\times5-0{,}8\times2 = -0{,}6$ : le jeu est défavorable au joueur (perte moyenne de $0{,}60$ € par partie).
Propriété — interprétation
Quand on répète l'expérience un grand nombre de fois, la moyenne des valeurs observées se rapproche de $E(X)$ (loi des grands nombres). Un jeu est équitable si $E(X) = 0$.
Questions fréquentes sur ce chapitre
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?
Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire, par exemple le gain d'un jeu.
Comment calculer l'espérance d'une variable aléatoire ?
$E(X) = \sum x_iP(X = x_i)$ : la moyenne des valeurs pondérées par leurs probabilités. Elle s'interprète comme la valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions.
Comment calculer la variance ?
$V(X) = E(X^2)-E(X)^2$ ou $V(X) = \sum(x_i-E(X))^2P(X = x_i)$ ; l'écart-type est $\sigma = \sqrt{V(X)}$.
Que signifie un jeu équitable ?
Un jeu dont l'espérance de gain est nulle : en moyenne, on ne gagne ni ne perd.
