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I.Enunciado del teorema de Bézout:
Sean a y b dos números naturales distintos de cero.
Decir que a y b son primos equivale a decir que hay dos enteros u y v tales que .
Demostración:
1.supongamos que hay dos enteros u y v tales que au + bv = 1 y demuestre que a y b son primos entre sí.
Observamos
divide a y b por lo que
divide au + bv.
Como au + bv = 1, = 1 y a y b son primos entre sí.
2.Supongamos que a y b son primos y demostremos que 1 se escribe de la forma au + bv.
Sea el conjunto de números de la forma au + bv con
y
.
El conjunto no está vacío porque para u = 1 y v = 0,
.
Así, contiene números enteros estrictamente positivos y, entre ellos, uno menor que todos los demás.
Nota este elemento más pequeño.
La división euclídea de a por m se escribe con
o .
Por lo tanto .Ahora m es el menor número entero estrictamente positivo de
por lo que r = 0.
Así pues, m divide a a.Demostramos del mismo modo que m divide a b.
Como a y b son primos, m=1 y .
En la práctica, ¿cómo encontrar u y v?
Para determinar los coeficientes, utilizamos el algoritmo de Euclides.
Pongamos un ejemplo.
Buscamos un par (x;y) de números enteros relativos tales que 89x+41y=1 (1).
89 y 41 son primos entre sí, por lo que hay dos números enteros relativos x e y que cumplen (1).
Sea a=89 y b=41.
así que
.
así que
.
así que
.
Sea .
Así pues, es una solución de (1).
II. una nueva caracterización del PGCD
a y b son dos números naturales distintos de cero.Decir que es el
equivale a decir que
es divisor de a y b y hay dos enteros relativos u y v tales que
.
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