Teorema de Bézout: curso de matemáticas de bachillerato en PDF.

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Sommaire de cette fiche

1 I.Enunciado del teorema de Bézout:
2 II. una nueva caracterización del PGCD

El teorema de Bézout en un curso de aritmética para los alumnos de especialidad terminal.

I.Enunciado del teorema de Bézout:

Teorema:

Sean a y b dos números naturales distintos de cero.

Decir que a y b son primos equivale a decir que hay dos enteros u y v tales que $au\,+\,bv\,=\,1$ .

Demostración:

1.supongamos que hay dos enteros u y v tales que au + bv = 1 y demuestre que a y b son primos entre sí.

Observamos $\Delta\,=PGCD(a,b)$

$\Delta$ divide a y b por lo que $\Delta$ divide au + bv.

Como au + bv = 1, $\Delta$ = 1 y a y b son primos entre sí.

2.Supongamos que a y b son primos y demostremos que 1 se escribe de la forma au + bv.

Sea $\varphi$ el conjunto de números de la forma au + bv con $u\,\in\,\mathbb{Z}$ y $v\,\in\,\mathbb{Z}$ .

El conjunto $\varphi$ no está vacío porque para u = 1 y v = 0, $a\in\varphi$ .

Así, $\varphi$ contiene números enteros estrictamente positivos y, entre ellos, uno menor que todos los demás.

Nota este elemento más pequeño.

La división euclídea de a por m se escribe a=mq+r con $0\leq\,\,r<m$

o .

Por lo tanto $r\in\varphi$ .Ahora m es el menor número entero estrictamente positivo de $\varphi$ por lo que r = 0.

Así pues, m divide a a.Demostramos del mismo modo que m divide a b.

Como a y b son primos, m=1 y .

En la práctica, ¿cómo encontrar u y v?
Para determinar los coeficientes, utilizamos el algoritmo de Euclides.

Pongamos un ejemplo.

Buscamos un par (x;y) de números enteros relativos tales que 89x+41y=1 (1).

89 y 41 son primos entre sí, por lo que hay dos números enteros relativos x e y que cumplen (1).

Sea a=89 y b=41.

$89=41\times \,2+7$ así que $7=89-2\times \,41=a-2b$ .

$41=7\times \,5+\,6$ así que $6=41-7\times \,5=b-5(a-2b)=11b-5a$ .

$7=6\times \,1\,+1$ así que .

Sea $89\times \,6\,+41\times (-13)=1$ .

Así pues, es una solución de (1).

II. una nueva caracterización del PGCD

Teorema:

a y b son dos números naturales distintos de cero.Decir que $\Delta$ es el equivale a decir que $\Delta$ es divisor de a y b y hay dos enteros relativos u y v tales que $\Delta\,=au+bv$ .

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