Teorema de Bézout: curso de matemáticas de bachillerato en PDF.

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El teorema de Bézout en un curso de aritmética para los alumnos de especialidad terminal.

I.Enunciado del teorema de Bézout:

Teorema:

Sean a y b dos números naturales distintos de cero.

Decir que a y b son primos equivale a decir que hay dos enteros u y v tales que au\,+\,bv\,=\,1.

Demostración:

1.supongamos que hay dos enteros u y v tales que au + bv = 1 y demuestre que a y b son primos entre sí.

Observamos \Delta\,=PGCD(a,b)

\Delta divide a y b por lo que \Delta divide au + bv.

Como au + bv = 1, \Delta = 1 y a y b son primos entre sí.

2.Supongamos que a y b son primos y demostremos que 1 se escribe de la forma au + bv.

Sea \varphi el conjunto de números de la forma au + bv con u\,\in\,\mathbb{Z} y v\,\in\,\mathbb{Z}.

El conjunto \varphi no está vacío porque para u = 1 y v = 0, a\in\varphi.

Así, \varphi contiene números enteros estrictamente positivos y, entre ellos, uno menor que todos los demás.

Nota m=au_1+bv_1 este elemento más pequeño.

La división euclídea de a por m se escribe a=mq+r con 0\leq\,\,r<m

o r=a-mq=a-(au_1+bv_1)q=a(1-u_1q)+b(-v_1q).

Por lo tanto r\in\varphi.Ahora m es el menor número entero estrictamente positivo de \varphi por lo que r = 0.

Así pues, m divide a a.Demostramos del mismo modo que m divide a b.

Como a y b son primos, m=1 y au_1+bv_1=1.

En la práctica, ¿cómo encontrar u y v?
Para determinar los coeficientes, utilizamos el algoritmo de Euclides.

Pongamos un ejemplo.

Buscamos un par (x;y) de números enteros relativos tales que 89x+41y=1 (1).

89 y 41 son primos entre sí, por lo que hay dos números enteros relativos x e y que cumplen (1).

Sea a=89 y b=41.

89=41\times  \,2+7 así que 7=89-2\times  \,41=a-2b.

41=7\times  \,5+\,6 así que 6=41-7\times  \,5=b-5(a-2b)=11b-5a.

7=6\times  \,1\,+1 así que 1=7-6=a-2b-11b+5a=6a-13b.

Sea 89\times  \,6\,+41\times  (-13)=1.

Así pues, (x_0;y_0)=(6;-13) es una solución de (1).

II. una nueva caracterización del PGCD

Teorema:

a y b son dos números naturales distintos de cero.Decir que \Delta es el PGCD(a,b) equivale a decir que \Delta es divisor de a y b y hay dos enteros relativos u y v tales que \Delta\,=au+bv.

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