Ejercicio 1:
Las tres divisiones euclidianas siguientes son correctas.
Sólo 23 es divisor de 368 porque el resto es cero.
El menor múltiplo de 15 mayor que 368 es 25×15=375.
3. El mayor múltiplo de 14 menor que 368 es 26×14= 364.
Ejercicio 2:
Las divisiones euclidianas correspondientes son :
- 475= 16 x 29 +11;
- 9 957 = 23 x 432 + 21;
- 456 = 41 x 11 +5;
- 781 = 27 x 28 + 25;
- 935 = 17 x 55 + 0
Ejercicio 3:
Una guardería con 131 niños organiza una jornada «Sport Co» con baloncesto, balonmano, fútbol y rugby.
Para cada deporte, ¿cuántos equipos se pueden formar?
¿Cuántos niños se quedarán sin equipo?
131=32×4+3.
Podemos formar 32 equipos y 3 niños se quedarán sin equipo.
Ejercicio 4:
Escribe la lista de divisores de los siguientes números: 16; 20; 36; 90; 59; 33.
Divisores de 16: 1,2,4,8,16.
Divisores de 20: 1,2,4,5,10,20.
Divisores de 59:1,59.
Ejercicio 5:
Completa la siguiente tabla.
Ejercicio 6:
Demuestra que la suma de dos enteros positivos impares consecutivos es múltiplo de 4.
Si n=2k+1 (donde k es un número entero positivo) es un número impar positivo, entonces el número entero impar positivo consecutivo es n’=2k+3.
n+n’=2k+1+2k+3=4k+4=4(k+1)=4K con K=k+1 por lo que la suma de dos enteros impares consecutivos es múltiplo de 4.
Demuestra que un múltiplo de 8 es también múltiplo de 4.
Si n=8k (siendo k un número entero positivo) es múltiplo de 8 entonces n=4x(2k)=4K siendo K=2k por lo que n también es múltiplo de 4.
Ejercicio 7:
Nori quiere hacer paquetes de canicas, dividiendo sus 90 canicas rojas y 150 canicas negras a partes iguales.
¿Cuántos paquetes podrá hacer?
Encuentra las distintas posibilidades.
¿Puede haber 9 paquetes? ¿30 paquetes?
No puede haber 9 paquetes porque 150 no es divisible por 9.
Puede haber 30 paquetes porque 150 y 90 son divisibles por 30.
Enumera los divisores de 90 y luego de 150.
Divisores de 90:1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90
Divisores de 150:1,2,3,5,6,10,15,25,30,50,75,150
¿Cuáles son las distintas posibilidades para el número de paquetes?
Las posibilidades son 1,2,3,5,6,10,15,30.
Ejercicio 8:
Haz una lista de todos los números primos menores que 50.
La lista es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
Ejercicio 9:
Utiliza las ecuaciones siguientes para escribir las descomposiciones en factores primos
de los números propuestos.
Ejercicio 10:
Escribe la descomposición en factores primos de los siguientes números enteros:
Ejercicio 11:
Encuentre el número que busca.
Las soluciones son 101; 113; 137 y 149.
Ejercicio 12:
Utiliza descomposiciones en factores primos para hacer irreducibles estas fracciones.
Haz irreducibles las siguientes fracciones: .
Ejercicio 13:
Haz irreducibles las siguientes fracciones: .
Ejercicio 14:
Tengo más de 400 cds pero menos de 450. Ya los agrupe de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro o de cinco en cinco, siempre ocurre lo mismo: siempre sobra uno.
¿Cuántos CD tiene Nori?
Buscamos un número impar que termine en 1.
Hay 421 CD.
Ejercicio 15:
1. Calcula el DGC de 110 y 88.
GCD( 110 ; 88 ) = 22
2. Un trabajador tiene unas planchas metálicas de 110 cm de largo y 88 cm de ancho.
Fue instruido de la siguiente manera:
«Recorta cuadrados idénticos de estos platos, lo más grandes posible ,
para que no haya pérdidas. »
¿Cuál será la longitud del lado del cuadrado?
La longitud lateral del cuadrado será de 22 cm
3. ¿Cuántos cuadrados se obtendrán por placa?
110:22=5 y 88:22=4
5×4=20
Habrá 20 casillas.
Ejercicio 16:
1. Calcula el DGC de 114 400 y 60 775.
GCD( 114400 ; 60775 ) = 3575
2. > Explicar cómo hacer que la fracción sea irreducible sin utilizar la tecla de fracción de una calculadora.
dividiendo por el gcd (114.400; 60.775)
3. Indique la forma simplificada de
.
Ejercicio 17:
Sean los números A = y B = –
.
1. Explica por qué la fracción A no es irreducible.
117 y 63 son divisibles por 3 por lo que su gcd no es 1 por lo que la fracción es reducible.
2. Simplifica esta fracción para hacerla irreducible.
GCD( 117 ; 63 ) = 9
3. Demuestra, indicando los pasos del cálculo, que A – B es un número entero.
por lo que A-B es un número entero.
Ejercicio 18:
1. Demuestra que los números 65 y 42 son primos entre sí.
PGCD( 65 ; 42 ) = 1, por lo que estos dos números enteros son primos entre sí.
2. Demuestre que =
.
GCD( 520 ; 336 ) = 8
Ejercicio 19:
1. Determina el DGC de 108 y 135.
GCD( 135 ; 108 ) = 27
2. Mark tiene 108 canicas rojas y 135 canicas negras.
Quiere hacer paquetes para que :
- todos los paquetes contienen el mismo número de canicas rojas;
- todos los paquetes contienen el mismo número de canicas negras;
- se utilizan todas las bolas rojas y negras.
a. ¿Cuál es el número máximo de envases que podrá producir?
Podrá producir un máximo de 27 envases.
b. ¿Cuántas canicas rojas y negras habrá en cada paquete?
108:27=4 bolas rojas
135:27=5 bolas negras.
Ejercicio 20:
1. Calcula el DGC de 1 756 y 1 317 (se detallarán los cálculos necesarios).
GCD( 1756 ; 1317 ) = 439
2. Una floristería recibió 1.756 rosas blancas y 1.317 rosas rojas.
Quiere hacer ramos idénticos
(es decir, con el mismo número de rosas y el mismo
(por ejemplo, distribución entre rosas blancas y rojas) utilizando todas las flores.
a. ¿Cuál es el número máximo de ramos idénticos? Justifique claramente la respuesta.
Puede crear un máximo de 439 ramos idénticos.
b. ¿Cuál será la composición de cada ramo?
1756:439=4 rosas blancas.
1317:439=3 rosas negras.
Ejercicio 21:
1) Demuestre que PGCD( 578 ; 408 ) = 34
Demuestre que PGCD( 2499 ; 1911 ) = 147
2) Demuestre que PGCD( 252 ; 144 ) = 36 .
a. Esta asociación puede formar un máximo de 36 equipos.
b. 144 : 36 = 4 y 252 : 36 = 7
Hay 4 chicas y 7 chicos por equipo.
Ejercicio 23:
1. ¿Son primos entre sí los números 682 y 352? Justifica.
Se trata de dos números enteros pares, por lo que no pueden ser primos entre sí porque su gcd será mayor o igual que 2.
2. Calcula el máximo común divisor (MCD) de 682 y 352.
Utilicemos el algoritmo de Euclides.
682=1×352+330
352=1×330+22
330=15×22+0
Entonces gcd (352 ; 682 ) = 22
3. Hacer la fracción irreducible
indicando claramente el método utilizado.
Dividiendo el numerador y el denominador por el gcd, obtenemos una fracción que es irreducible.
Ejercicio 24:
Calcula y da el resultado como fracción irreducible:
.
Ejercicio 25 :
Calcula y da el resultado en notación científica:
Ejercicio 26:
1.
Calcula A y da el resultado en forma de fracción.
2. Escribe B en la forma donde b es un número entero.
3.
Calcula C y escribe el resultado en forma científica.
Ejercicio 27:
1. Determina el DGC de 288 y 224.
Utilicemos el algoritmo de Euclides.
Como el GCD es el último resto distinto de cero, deducimos que
2 . Escribe la fracción en forma irreducible.
es una fracción irreducible.
3 . Un fotógrafo debe crear una exposición presentando su obra en paneles que contengan cada uno el mismo número de fotos de paisajes y el mismo número de retratos.
Tiene 224 fotos de paisajes y 288 de retratos.
a ) ¿Cuántos paneles puede hacer con todas las fotos?
Se puede fabricar un máximo de 32 paneles.
b) ¿Cuántas fotos en formato horizontal y vertical hay en cada panel?
Cada panel contendrá 7 fotos apaisadas y 9 fotos retrato.
Ejercicio 29:
a. ¿Son 255 y 154 primos?
PGCD( 255 ; 154 )
Usamos el algoritmo de Euclides
Y los resultados se agrupan en una tabla.
Dividendos | Divisor | Resto |
---|---|---|
Dividendos | Divisor | Resto |
255 | 154 | 101 |
154 | 101 | 53 |
101 | 53 | 48 |
53 | 48 | 5 |
48 | 5 | 3 |
5 | 3 | 2 |
3 | 2 | 1 |
2 | 1 | 0 |
Sin embargo, en el algoritmo de Euclides el PGCD es el último resto distinto de cero.
PGCD( 255 ; 154 ) = 1 por lo que estos dos números son primos entre sí.
b. ¿Son 609 y 465 de primera?
GCD( 609 ; 465 )
Usamos el algoritmo de Euclides
Y los resultados se agrupan en una tabla.
Dividendos | Divisor | Resto |
---|---|---|
Dividendos | Divisor | Resto |
609 | 465 | 144 |
465 | 144 | 33 |
144 | 33 | 12 |
33 | 12 | 9 |
12 | 9 | 3 |
9 | 3 | 0 |
Sin embargo, en el algoritmo de Euclides el PGCD es el último resto distinto de cero.
PGCD( 609 ; 465 ) = 3 por lo que estos dos números no son primos entre sí.
c. ¿Son 11.913 y 7.259 primos?
GCD( 11913 ; 7259 )
Usamos el algoritmo de Euclides
Y los resultados se agrupan en una tabla.
Dividendos | Divisor | Resto |
---|---|---|
Dividendos | Divisor | Resto |
11913 | 7259 | 4654 |
7259 | 4654 | 2605 |
4654 | 2605 | 2049 |
2605 | 2049 | 556 |
2049 | 556 | 381 |
556 | 381 | 175 |
381 | 175 | 31 |
175 | 31 | 20 |
31 | 20 | 11 |
20 | 11 | 9 |
11 | 9 | 2 |
9 | 2 | 1 |
2 | 1 | 0 |
Sin embargo, en el algoritmo de Euclides el PGCD es el último resto distinto de cero.
PGCD( 11913 ; 7259 ) = 1 por lo que estos dos números son primos entre sí.
Ejercicio 30:
1. Por el método de Euclides :
481=2×234+13
234=18×13+0
Como gcd es el último resto distinto de cero, podemos deducir que gcd (481 , 234 ) =13.
Ejercicio 31:
1. Por el método del algoritmo de Euclides:
137=3×41+14
41=2×14+13
14=1×13+1
13=1×13+0
como gcd es el último resto distinto de cero, deducimos que gcd (137 , 41 ) =1.
2. Estos dos números enteros son primos entre sí porque gcd (137 , 41 ) =1.
Observa que el algoritmo de Euclides es más rápido.
Ejercicio 32 :
1. Por tanto, hay que calcular el gcd (2622,2530).
Utilicemos el algoritmo de Euclides.
2622=1×2530+92
2530=27×92+46
92=2×46+0
como gcd es el último resto distinto de cero, deducimos que gcd (137 , 41 ) = 46.
Habrá 46 huevos y 46 peces en cada paquete.
2. En un paquete hay por tanto 2×46=92 elementos y en total tenemos 2622+2530=5152 elementos.
Por tanto, habrá 56 paquetes (5.152:92=56).
Ejercicio 33 :
1. 1. Por tanto, hay que calcular el gcd (161,133).
Utilicemos el algoritmo de Euclides.
161=1×133+28
133=4×28+21
28=1×21+7
21=3×7+0
Como el gcd es el último resto distinto de cero, deducimos que gcd (161 , 133 ) = 7.
Así que habrá 7 lápices en cada paquete.
2. En un paquete hay 14 lápices de cada color para un total de 294 lápices.
por lo que hay un total de 21 paquetes ( 294:14 = 21).
Ejercicio 34 :
Para A:
Calculemos el gcd (945,595)
945=1×595+350
595=1×350+245
350=1×245+105
245=2×105+35
105=2×35+35
35=1×35+0
entonces gcd(945,595)=35
así que
Para B:
Calculemos el gcd (1.771,736)
1 771=2×736+299
736=2×299+138
299=2×138+23
138=6×23+0
entonces gcd (1,771.736)=23
así que
Ejercicio 35:
Ejercicio 36:
1. Utilizamos el algoritmo de Euclides
Y los resultados se agrupan en una tabla.
Dividendos | Divisor | Resto |
---|---|---|
Dividendos | Divisor | Resto |
135 | 108 | 27 |
108 | 27 | 0 |
Sin embargo, en el algoritmo de Euclides el PGCD es el último resto distinto de cero.
GCD( 135 ; 108 ) = 27
2. a. ¿Cuál es el número máximo de envases que podrá producir?
Puede hacer un máximo de 27 paquetes.
b. ¿Cuántas canicas rojas y negras habrá en cada paquete?
108:27=4 bolas rojas.
135:27=5 bolas negras.
Conclusión:
Habrá 4 canicas rojas y 5 negras en cada paquete.
Ejercicio 37:
El número de Cd’s no es divisible entre 2 y 5 por lo que el número de CD’s no termina en 0,2,4,5,6,8.
Así que termina con 1,3,7,9
El número buscado es 421 por eliminaciones sucesivas.
Ejercicio 38 :
a) A la pregunta: «¿Cuántos divisores tiene 48? «, John responde que son 9, mientras que Cedric encuentra 10.
¿Quién tiene razón?
¿Qué método se puede utilizar para hallar todos los divisores de un número?
Los divisores de 48 son 1;2;3;4;6;8;12;16;24;48 .
Hay 10, Cedric tiene razón.
b) Un artista tiene un lienzo de 60 cm por 48 cm.
Quiere pintar una acera formada por cuadrados idénticos, pero de distintos colores. La longitud lateral de estos cuadrados es un número entero.
¿Cuál es la mayor longitud posible de estos cuadrados (en cm)?
La longitud más larga es gcd (60.48)
GCD( 60 ; 48 )
Usamos el algoritmo de Euclides
Y los resultados se agrupan en una tabla.
Dividendos | Divisor | Resto |
---|---|---|
Dividendos | Divisor | Resto |
60 | 48 | 12 |
48 | 12 | 0 |
Sin embargo, en el algoritmo de Euclides el PGCD es el último resto distinto de cero.
GCD( 60 ; 48 ) = 12
Conclusión: La longitud máxima es de 12 cm.
Ejercicio 39:
¿Son verdaderas o falsas las siguientes frases? Justifica las respuestas.
a) 3 es divisor de 43. FALSO g) El múltiplo de 24 es 240. VERDADERO
b) 132 es divisible por 11. VERDADERO h) 5 es divisible por 450. VERDADERO
c) 7 es divisor de 21. FALSO i) 8 es divisor de 0. VERDADERO
d) 222 es un divisor de 31.024. FALSO j) 1 es múltiplo de 67. FALSO
e) 31.024 es múltiplo de 113. FALSE k) 1 divide a 0. VERDADERO
f) 45 se divide por 5. VERDADERO l) 0 divide a 15. FALSO
Ejercicio 40 :
Si el número sólo tiene dos divisores, entonces es un número primo.
Basta con crear una tabla con el programa Excel.
Observando que n=11, obtenemos 121 .
Ahora 121 es divisible por 121 , 11 y 1 por lo que tiene 3 divisores.
La afirmación es falsa.
Ejercicio 41 :
1. Calcula el número de tartas.
Calculemos el gcd(411,685)
685=1×411 +274
411=1×274+137
274=2×137+0
entonces gcd(411,685)=137
2. Calcula el número de frambuesas y fresas de cada tartaleta.
411:137= 3
Habrá 3 frambuesas por tartaleta.
685:137 = 5
Habrá 5 fresas por tartaleta.
Ejercicio 42 :
1. ¿Cuántos ramos puede hacer el florista?
Demuestre que gcd (1105,935) = 85
2. ¿Cuál será la composición de cada ramo?
1105 : 85 = 13 y 935 : 85 = 11
Cada ramo consta de 13 claveles y 11 lirios.
Ejercicio 43:
1) ¿Son primos entre sí los números 3120 y 2760? Justificar
Estos dos números son divisibles por 10 por lo que no son primos entre sí porque su gcd es distinto de 1.
2) Calcula el máximo común divisor de 3120 y 2760.
3120=1×2760 + 360
2760=7×360+240
360=1×240+120
240=2×120+0
Como gcd es el último resto distinto de cero, gcd(3120,2760)=120
3) Hacer irreducible la fracción .
4) Un confitero tiene 3120 grageas rosas y 2760 blancas y desea hacer paquetes idénticos de grageas rosas y blancas.
Para obtener el máximo beneficio de estas ventas, el número de paquetes debe ser el mayor posible y debe utilizar todas sus gominolas.
a) ¿Cuántos paquetes hace el confitero?
Cada envase debe contener el número máximo de grageas de cada color
por lo que equivale a buscar el gcd(3120,2760) o 120 paquetes.
b) ¿Cuál es el número que hay en cada paquete de gominolas rosas?
3120 : 120 =26.
Cada paquete contiene 26 grageas rosas.
c) ¿Cuál es el número de gominolas blancas de cada paquete?
Cada paquete contiene 26 grageas blancas.
Respuestas a ejercicios de matemáticas sobre aritmética y descomposición de factores primos en 3ème.
Después de consultar las respuestas a estos ejercicios de matemáticas sobre aritmética y descomposición de factores primos, puedes volver a los ejercicios del tercer grado.