Cinquième · Fiche méthode 5 sur 12 · Calcul littéral
Comment développer une expression littérale ?
Développer, c'est transformer un produit en somme en distribuant le facteur extérieur à chaque terme de la parenthèse : $k(a+b)=k\times a+k\times b$. Chaque terme de la parenthèse doit être multiplié, sans en oublier.
La méthode en 5 étapes
1Repérer le facteur et la parenthèse
On identifie ce qui multiplie la parenthèse : un nombre, une lettre, ou les deux.
2Distribuer terme à terme
On trace mentalement une flèche du facteur vers chaque terme de la parenthèse, et on écrit chaque produit obtenu.
3Gérer les signes
Si le facteur est négatif, tous les signes de la parenthèse changent : $-3(x-2)=-3x+6$.
4Réduire
On regroupe les termes semblables : les $x$ avec les $x$, les nombres avec les nombres.
5Vérifier avec une valeur
On remplace $x$ par un nombre simple, par exemple $2$, dans l'expression de départ et dans le résultat : les deux doivent donner la même valeur.
Un exemple entièrement résolu
Développer et réduire $H = 5(2x+3)-2(x-4)$.
$5\times 2x = 10x$ et $5\times 3 = 15$, donc $5(2x+3) = 10x+15$.
Le facteur est $-2$ : $-2\times x = -2x$ et $-2\times(-4) = +8$. Donc $-2(x-4) = -2x+8$.
$H = 10x+15-2x+8$
Termes en $x$ : $10x-2x = 8x$. Termes constants : $15+8 = 23$.
$H = 8x+23$
Pour $x=2$ : départ $5\times 7-2\times(-2) = 35+4 = 39$ ; résultat $8\times 2+23 = 39$. C'est cohérent.
Conclusion. $H = 8x+23$.
Les erreurs à ne pas faire
- Ne distribuer que sur le premier terme : $5(2x+3)$ ne vaut pas $10x+3$.
- Oublier de changer le signe du second terme derrière un facteur négatif : $-2(x-4)$ vaut $-2x+8$, pas $-2x-8$.
- Additionner des termes non semblables : $8x+23$ ne se réduit pas en $31x$.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Développer : $4(x+7)$ ; $-3(2y-5)$ ; $x(x+6)$.
Voir le corrigé
$4(x+7) = 4x+28$.
$-3(2y-5) = -6y+15$.
$x(x+6) = x^2+6x$.
- Exercice 2
Développer et réduire $K = 3(x-2)+4(2x+1)$.
Voir le corrigé
$3(x-2) = 3x-6$ et $4(2x+1) = 8x+4$.
$K = 3x-6+8x+4 = 11x-2$.
- Exercice 3
Un rectangle a pour largeur $x$ et pour longueur $x+5$. Exprimer son périmètre sous forme développée et réduite.
Voir le corrigé
$P = 2\times(\text{longueur}+\text{largeur}) = 2(x+5+x) = 2(2x+5)$.
En développant : $P = 4x+10$.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Développer transforme un produit en somme : $3(x+2) = 3x+6$. Factoriser fait l'inverse, transformer une somme en produit : $3x+6 = 3(x+2)$. Ce sont deux lectures de la même égalité, lue de gauche à droite ou de droite à gauche.
Pourquoi vérifier avec une valeur numérique ?
Parce qu'une égalité entre deux expressions doit être vraie pour toutes les valeurs de $x$. Si le test avec $x=2$ échoue, il y a forcément une erreur de développement. S'il réussit, ce n'est pas une preuve complète, mais cela détecte la quasi-totalité des erreurs de signe.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Calcul littéral en Cinquième, voici le reste des ressources du site :