Cinquième · Fiche méthode 8 sur 12 · Proportionnalité
Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?
Un tableau est proportionnel si l'on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Il suffit d'un seul quotient différent pour que la réponse soit non.
La méthode en 4 étapes
1Calculer les quotients colonne par colonne
Pour chaque colonne, on divise la valeur du bas par celle du haut.
2Comparer les résultats
Tous identiques : il y a proportionnalité, et ce nombre commun est le coefficient. Un seul écart : il n'y a pas proportionnalité, et ce contre-exemple suffit à conclure.
3Rédiger la conclusion
On écrit la phrase avec le coefficient : « le tableau est proportionnel, de coefficient $2{,}5$ » ou « $\dfrac{12}{4}=3$ alors que $\dfrac{20}{5}=4$, donc il n'y a pas proportionnalité ».
4Compléter le tableau
Si le tableau est proportionnel, on remplit les cases manquantes avec le coefficient, ou par le produit en croix : dans un tableau proportionnel, $a\times d = b\times c$ pour les quatre cases d'un rectangle.
Un exemple entièrement résolu
Le tableau suivant est-il proportionnel ? Quantité : $2$ ; $5$ ; $8$ kg. Prix : $7$ ; $17{,}5$ ; $28$ €.
$\dfrac{7}{2}=3{,}5$
$\dfrac{17{,}5}{5}=3{,}5$
$\dfrac{28}{8}=3{,}5$
Les trois quotients sont égaux : le tableau est proportionnel, de coefficient $3{,}5$. Ce coefficient a un sens concret : c'est le prix d'un kilogramme.
Conclusion. Le tableau est proportionnel, de coefficient $3{,}5$ : le produit coûte $3{,}5$ € le kilogramme.
Les erreurs à ne pas faire
- Tester une seule colonne et conclure : il faut vérifier toutes les colonnes.
- Diviser tantôt le haut par le bas, tantôt le bas par le haut : il faut garder le même sens partout.
- Croire que toute situation de la vie courante est proportionnelle. L'âge et la taille, le prix d'un abonnement avec frais fixes, l'aire et le côté d'un carré ne le sont pas.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Ce tableau est-il proportionnel ? Durée : $3$ ; $5$ ; $8$ h. Distance : $150$ ; $250$ ; $400$ km.
Voir le corrigé
$\dfrac{150}{3}=50$ ; $\dfrac{250}{5}=50$ ; $\dfrac{400}{8}=50$.
Oui, le tableau est proportionnel, de coefficient $50$ : le véhicule roule à $50$ km/h.
- Exercice 2
$4$ croissants coûtent $5$ €. Combien coûtent $10$ croissants ?
Voir le corrigé
Produit en croix : prix $= \dfrac{5\times 10}{4}=\dfrac{50}{4}=12{,}5$.
$10$ croissants coûtent $12{,}50$ €.
- Exercice 3
Un abonnement coûte $10$ € par mois plus $15$ € de frais d'inscription. Le prix payé est-il proportionnel au nombre de mois ?
Voir le corrigé
Pour $1$ mois : $25$ €, quotient $25$. Pour $2$ mois : $35$ €, quotient $17{,}5$.
Les quotients diffèrent : ce n'est pas une situation de proportionnalité, à cause des frais fixes.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que le produit en croix ?
Dans un tableau de proportionnalité à quatre cases $\begin{matrix} a & b \\ c & d\end{matrix}$, on a toujours $a\times d = b\times c$. Pour trouver une case manquante, on multiplie les deux nombres opposés en diagonale et on divise par le troisième.
Comment reconnaître la proportionnalité sur un graphique ?
Les points sont alignés avec l'origine du repère. Une droite qui ne passe pas par l'origine, comme celle d'un abonnement avec frais fixes, ne représente pas une situation de proportionnalité.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Proportionnalité en Cinquième, voici le reste des ressources du site :