Cinquième · Fiche méthode 10 sur 12 · Symétrie centrale
Comment construire le symétrique d'une figure par symétrie centrale ?
Le symétrique d'un point $A$ par rapport à un centre $O$ est le point $A'$ tel que $O$ soit le milieu de $[AA']$. On trace la demi-droite $[AO)$, puis on reporte la longueur $OA$ de l'autre côté de $O$.
La méthode en 5 étapes
1Tracer la droite passant par le point et le centre
Pour un sommet $A$, on trace la droite $(AO)$ : le symétrique $A'$ se trouvera forcément dessus.
2Reporter la distance
On mesure $OA$ à la règle ou au compas, et on reporte cette longueur à partir de $O$, de l'autre côté du centre. On obtient $A'$ avec $OA = OA'$.
3Recommencer pour chaque sommet
On construit ainsi $B'$, $C'$… Un point confondu avec le centre est son propre symétrique.
4Relier les points
On relie les symétriques dans le même ordre. La figure obtenue est la figure de départ ayant subi un demi-tour autour de $O$.
5Vérifier
Les segments correspondants doivent être parallèles et de même longueur, et la figure doit paraître retournée à $180°$, pas en miroir.
Un exemple entièrement résolu
Construire le symétrique du triangle $ABC$ par rapport au point $O$, où $OA = 3$ cm, $OB = 4$ cm et $C$ est confondu avec $O$.
On trace la droite $(AO)$, puis on place $A'$ sur cette droite, de l'autre côté de $O$, avec $OA' = 3$ cm.
Même méthode : droite $(BO)$, report de $4$ cm au-delà de $O$, on obtient $B'$.
$C$ est le centre lui-même : le centre est son propre symétrique, donc $C' = C = O$.
On relie $A'$, $B'$ et $C'$. Le triangle $A'B'C'$ est superposable à $ABC$ après un demi-tour autour de $O$.
Conclusion. $A'B'C'$ est le symétrique de $ABC$ par rapport à $O$ : les longueurs et les angles sont conservés, et $(A'B')$ est parallèle à $(AB)$.
Les erreurs à ne pas faire
- Reporter la longueur du même côté du centre : le symétrique est toujours de l'autre côté.
- Confondre symétrie axiale et symétrie centrale : la première est un pliage (effet miroir), la seconde un demi-tour.
- Oublier que le centre est son propre symétrique.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
$O$ est le milieu de $[MM']$ et $OM = 5{,}2$ cm. Que vaut $MM'$ ?
Voir le corrigé
$O$ est le milieu, donc $OM' = OM = 5{,}2$ cm et $MM' = OM+OM'$.
$MM' = 5{,}2+5{,}2 = 10{,}4$ cm.
- Exercice 2
Le segment $[AB]$ mesure $7$ cm. Que peut-on dire de son symétrique $[A'B']$ par rapport à un point $O$ ?
Voir le corrigé
La symétrie centrale conserve les longueurs, et l'image d'une droite est une droite parallèle.
Donc $A'B' = 7$ cm et $(A'B')$ est parallèle à $(AB)$.
- Exercice 3
Quelles figures usuelles possèdent un centre de symétrie ?
Voir le corrigé
Le parallélogramme (point d'intersection des diagonales), le rectangle, le losange, le carré et le cercle (son centre).
En revanche, un triangle quelconque n'a jamais de centre de symétrie.
Questions fréquentes
Quelle différence avec la symétrie axiale ?
La symétrie axiale se fait par rapport à une droite : c'est un pliage, la figure est retournée comme dans un miroir. La symétrie centrale se fait par rapport à un point : c'est un demi-tour, le sens de lecture de la figure est conservé.
Que conserve la symétrie centrale ?
Elle conserve les longueurs, les mesures d'angles, les aires, l'alignement et les milieux. Elle a en plus une propriété que la symétrie axiale n'a pas : l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Symétrie centrale en Cinquième, voici le reste des ressources du site :