Cinquième · Fiche méthode 4 sur 12 · Fractions
Comment multiplier deux fractions ?
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$. Contrairement à l'addition, aucun dénominateur commun n'est nécessaire.
La méthode en 4 étapes
1Écrire le produit en une seule fraction
Un seul trait de fraction : le produit des numérateurs en haut, celui des dénominateurs en bas. On ne calcule pas encore.
2Simplifier avant de multiplier
C'est l'étape qui fait gagner du temps : on barre un facteur du haut avec un facteur du bas quand ils ont un diviseur commun. Multiplier d'abord donne de gros nombres inutiles.
3Effectuer les produits restants
Une fois toutes les simplifications faites, on multiplie ce qu'il reste.
4Vérifier l'ordre de grandeur
Multiplier par une fraction inférieure à $1$ diminue le nombre. Si le résultat a augmenté, il y a une erreur.
Un exemple entièrement résolu
Calculer $G = \dfrac{4}{9}\times\dfrac{15}{8}$.
$G = \dfrac{4\times 15}{9\times 8}$
$4$ et $8$ se simplifient par $4$ : il reste $1$ en haut et $2$ en bas. $15$ et $9$ se simplifient par $3$ : il reste $5$ en haut et $3$ en bas.
$G = \dfrac{1\times 5}{3\times 2}$
$G = \dfrac{5}{6}$
$\dfrac{4}{9}$ est un peu moins que $\dfrac{1}{2}$, multiplié par un nombre un peu moins que $2$ : un résultat proche de $1$ mais inférieur, comme $\dfrac{5}{6}$, est cohérent.
Conclusion. $G = \dfrac{5}{6}$.
Les erreurs à ne pas faire
- Chercher un dénominateur commun avant de multiplier : c'est inutile, cette étape n'existe que pour l'addition.
- Multiplier d'abord et simplifier ensuite : on se retrouve avec $\dfrac{60}{72}$ à simplifier, ce qui est plus long et plus risqué.
- Simplifier deux nombres du même étage : on ne simplifie qu'un numérateur avec un dénominateur.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer $\dfrac{3}{7}\times\dfrac{14}{9}$.
Voir le corrigé
$\dfrac{3\times 14}{7\times 9}$ : on simplifie $14$ et $7$ par $7$ (reste $2$ et $1$), puis $3$ et $9$ par $3$ (reste $1$ et $3$).
Il reste $\dfrac{1\times 2}{1\times 3}=\dfrac{2}{3}$.
- Exercice 2
Calculer les $\dfrac{3}{5}$ de $\dfrac{10}{21}$.
Voir le corrigé
« De » signifie multiplier : $\dfrac{3}{5}\times\dfrac{10}{21}=\dfrac{3\times 10}{5\times 21}$. On simplifie $10$ et $5$ par $5$, puis $3$ et $21$ par $3$.
Il reste $\dfrac{1\times 2}{1\times 7}=\dfrac{2}{7}$.
- Exercice 3
Un terrain rectangulaire mesure $\dfrac{3}{4}$ de km de long et $\dfrac{2}{5}$ de km de large. Quelle est son aire ?
Voir le corrigé
$A = \dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{3\times 2}{4\times 5}$. On simplifie $2$ et $4$ par $2$ : $\dfrac{3}{10}$.
L'aire vaut $\dfrac{3}{10}$ km², soit $0{,}3$ km².
Questions fréquentes
Comment diviser par une fraction ?
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse : $\dfrac{2}{3}\div\dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{6}$. On se ramène donc toujours à une multiplication, avec la même méthode de simplification.
Peut-on simplifier en diagonale ?
Oui : dans $\dfrac{4}{9}\times\dfrac{15}{8}$, on simplifie $4$ avec $8$ et $15$ avec $9$, bien qu'ils appartiennent à des fractions différentes. C'est autorisé parce que le produit s'écrit sur un seul trait de fraction, où tous les facteurs du haut sont en haut et tous ceux du bas en bas.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Fractions en Cinquième, voici le reste des ressources du site :