Cinquième · Fiche méthode 2 sur 12 · Nombres relatifs
Comment multiplier des nombres relatifs ?
On multiplie d'abord les nombres sans leur signe, puis on détermine le signe du résultat : deux facteurs de même signe donnent un produit positif, deux facteurs de signes contraires donnent un produit négatif.
La méthode en 4 étapes
1Compter les facteurs négatifs
Dans un produit de plusieurs nombres, on compte combien il y a de facteurs négatifs. Nombre pair de négatifs : le produit est positif. Nombre impair : il est négatif.
2Multiplier les distances à zéro
On effectue le calcul en oubliant provisoirement les signes.
3Placer le signe
On applique le signe trouvé à l'étape 1 au résultat de l'étape 2.
4Faire pareil pour la division
La règle des signes est identique pour le quotient : $(-24)\div(-6)=+4$ et $(-24)\div(+6)=-4$.
Un exemple entièrement résolu
Calculer $C = (-3)\times(+5)\times(-2)$ et $D = (-36)\div(+9)$.
Dans $C$, il y a deux facteurs négatifs : $-3$ et $-2$. Deux, c'est un nombre pair, donc le produit sera positif.
$3\times 5\times 2 = 30$.
$C = +30$.
Signes contraires, donc quotient négatif : $36\div 9 = 4$, donc $D = -4$.
Conclusion. $C = +30$ et $D = -4$.
Les erreurs à ne pas faire
- Confondre les règles de l'addition et de la multiplication. $(-3)+(-5) = -8$ mais $(-3)\times(-5) = +15$.
- Oublier un facteur négatif dans un produit long : c'est la parité du nombre de négatifs qui décide, pas le premier signe rencontré.
- Écrire $-3^2 = 9$ : sans parenthèses, le carré porte seulement sur $3$, donc $-3^2 = -9$, alors que $(-3)^2 = 9$.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer : $(-6)\times(-7)$ ; $(+4)\times(-9)$ ; $(-5)\times(-2)\times(-3)$.
Voir le corrigé
$(-6)\times(-7) = +42$ (deux négatifs).
$(+4)\times(-9) = -36$ (un négatif).
$(-5)\times(-2)\times(-3) = -30$ (trois négatifs, nombre impair).
- Exercice 2
Calculer $E = \dfrac{(-8)\times(+3)}{(-4)}$.
Voir le corrigé
Numérateur : $(-8)\times(+3) = -24$. Puis $(-24)\div(-4) = +6$ (signes identiques).
$E = 6$.
- Exercice 3
Le produit de deux nombres relatifs vaut $-45$. L'un des deux vaut $-9$. Quel est l'autre ?
Voir le corrigé
On divise : $(-45)\div(-9) = +5$.
L'autre nombre est $+5$. Vérification : $(-9)\times(+5) = -45$.
Questions fréquentes
Pourquoi « moins par moins donne plus » ?
On peut le voir sur une suite de produits : $(-3)\times 2 = -6$, $(-3)\times 1 = -3$, $(-3)\times 0 = 0$. À chaque fois qu'on diminue le second facteur de $1$, le résultat augmente de $3$. En continuant, $(-3)\times(-1)$ doit valoir $+3$. La règle est la seule qui garde la cohérence des calculs.
La règle marche-t-elle avec les fractions et les décimaux ?
Oui, la règle des signes ne dépend pas du type de nombres : $(-0{,}5)\times(-4) = +2$ et $\left(-\dfrac{2}{3}\right)\times(+6) = -4$. On traite d'abord le signe, puis le calcul numérique.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Nombres relatifs en Cinquième, voici le reste des ressources du site :