Cinquième · Fiche méthode 3 sur 12 · Fractions
Comment additionner deux fractions ?
On ne peut additionner que des fractions de même dénominateur. On cherche donc un dénominateur commun, on transforme les deux fractions, puis on additionne les numérateurs en gardant le dénominateur.
La méthode en 5 étapes
1Regarder les dénominateurs
S'ils sont déjà égaux, on passe directement à l'étape 4. Sinon, il faut les rendre égaux.
2Trouver un dénominateur commun
Le plus simple : vérifier si le plus grand dénominateur est un multiple du plus petit. Si oui, c'est lui le dénominateur commun. Sinon, on peut toujours prendre leur produit.
3Transformer chaque fraction
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre. La valeur de la fraction ne change pas.
4Additionner les numérateurs
$\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{d}$. Le dénominateur, lui, ne bouge pas.
5Simplifier
On rend le résultat irréductible, et on peut le donner en écriture décimale si l'énoncé le demande.
Un exemple entièrement résolu
Calculer $F = \dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}$.
$6$ n'est pas un multiple de $4$. On cherche un multiple commun à $4$ et $6$ : $12$ convient ($4\times 3 = 12$ et $6\times 2 = 12$).
$\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\times 3}{4\times 3}=\dfrac{9}{12}$ et $\dfrac{5}{6}=\dfrac{5\times 2}{6\times 2}=\dfrac{10}{12}$.
$F = \dfrac{9}{12}+\dfrac{10}{12}=\dfrac{19}{12}$.
$19$ est un nombre premier, il ne se simplifie pas avec $12$. La fraction est irréductible, et elle est supérieure à $1$.
Conclusion. $F = \dfrac{19}{12}$, ce qui vaut environ $1{,}58$.
Les erreurs à ne pas faire
- Additionner les dénominateurs : $\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6}$ ne vaut pas $\dfrac{8}{10}$.
- Ne multiplier que le dénominateur pour égaliser, en oubliant le numérateur.
- Choisir un dénominateur commun inutilement grand : $24$ marche aussi pour $4$ et $6$, mais oblige à simplifier davantage à la fin.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer $\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}$ et $\dfrac{7}{9}-\dfrac{4}{9}$.
Voir le corrigé
Les dénominateurs sont déjà égaux : on additionne ou on soustrait les numérateurs.
$\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{7}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ après simplification.
- Exercice 2
Calculer $\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{4}$.
Voir le corrigé
$8$ est un multiple de $4$ : le dénominateur commun est $8$. On transforme $\dfrac{3}{4}=\dfrac{6}{8}$.
$\dfrac{5}{8}+\dfrac{6}{8}=\dfrac{11}{8}$, irréductible.
- Exercice 3
Un élève a mangé $\dfrac{1}{3}$ d'une tarte, son frère $\dfrac{1}{4}$. Quelle fraction de la tarte reste-t-il ?
Voir le corrigé
Part mangée : $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{7}{12}$.
Reste : $1-\dfrac{7}{12}=\dfrac{12}{12}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{5}{12}$ de la tarte.
Questions fréquentes
Comment trouver le plus petit dénominateur commun ?
On écrit les premiers multiples de chaque dénominateur et on prend le premier qui apparaît dans les deux listes. Pour $4$ ($4$, $8$, $12$…) et $6$ ($6$, $12$…), c'est $12$. À défaut, le produit des deux dénominateurs fonctionne toujours, quitte à simplifier davantage à la fin.
Et pour additionner un entier et une fraction ?
On écrit l'entier sous forme de fraction de même dénominateur : $2+\dfrac{3}{5}=\dfrac{10}{5}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{13}{5}$. Tout entier $n$ s'écrit $\dfrac{n}{1}$, donc $\dfrac{n\times d}{d}$ pour n'importe quel dénominateur $d$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Fractions en Cinquième, voici le reste des ressources du site :