Cinquième · Fiche méthode 12 sur 12 · Angles et triangles
Comment calculer un angle dans un triangle ?
Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut $180°$. Si on connaît deux angles, on obtient le troisième en soustrayant leur somme de $180°$.
La méthode en 5 étapes
1Repérer ce qu'on connaît
Deux angles donnés, ou un angle et une particularité du triangle (isocèle, équilatéral, rectangle) : c'est ce qui détermine la méthode.
2Utiliser la nature du triangle
Isocèle : les deux angles à la base sont égaux. Équilatéral : les trois angles valent $60°$. Rectangle : un angle vaut $90°$ et les deux autres sont complémentaires, leur somme fait $90°$.
3Écrire l'égalité des angles
On pose $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = 180°$ en remplaçant par ce qu'on connaît.
4Calculer l'angle manquant
On soustrait de $180°$ la somme des angles connus. Dans un triangle isocèle dont on connaît l'angle au sommet, on soustrait puis on divise par $2$.
5Vérifier
On additionne les trois angles trouvés : le total doit faire exactement $180°$.
Un exemple entièrement résolu
Dans un triangle $ABC$, $\widehat{A} = 47°$ et $\widehat{B} = 68°$. Calculer $\widehat{C}$. Puis, dans un triangle isocèle en $E$ avec $\widehat{E} = 40°$, calculer les deux autres angles.
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = 180°$, donc $47+68+\widehat{C} = 180$.
$47+68 = 115$, donc $\widehat{C} = 180-115 = 65°$.
Les deux angles à la base sont égaux. Leur somme vaut $180-40 = 140°$.
$140\div 2 = 70$ : chacun des deux angles à la base mesure $70°$.
Conclusion. $\widehat{C} = 65°$ dans le premier triangle ; dans le second, les deux angles à la base valent $70°$ chacun.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier de diviser par $2$ dans le triangle isocèle, et attribuer $140°$ à un seul angle.
- Prendre $360°$ au lieu de $180°$ : $360°$ est la somme des angles d'un quadrilatère, pas d'un triangle.
- Confondre l'angle au sommet principal et les angles à la base : « isocèle en $E$ » signifie que c'est l'angle $\widehat{E}$ qui est particulier.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Un triangle a deux angles de $35°$ et $85°$. Calculer le troisième et préciser la nature du triangle.
Voir le corrigé
$180-(35+85) = 180-120 = 60°$.
Les trois angles sont différents et tous inférieurs à $90°$ : le triangle est quelconque et acutangle.
- Exercice 2
Dans un triangle rectangle en $A$, $\widehat{B} = 32°$. Calculer $\widehat{C}$.
Voir le corrigé
$\widehat{A} = 90°$, donc $\widehat{B}+\widehat{C} = 90°$.
$\widehat{C} = 90-32 = 58°$.
- Exercice 3
Un triangle isocèle a un angle à la base de $52°$. Combien mesure son angle au sommet ?
Voir le corrigé
Les deux angles à la base sont égaux : $52°$ chacun, soit $104°$ à eux deux.
L'angle au sommet vaut $180-104 = 76°$.
Questions fréquentes
Un triangle peut-il avoir deux angles droits ?
Non : deux angles droits feraient déjà $180°$, il ne resterait rien pour le troisième, or un angle de $0°$ ne permet pas de fermer un triangle. C'est aussi pour cela qu'un triangle ne peut avoir qu'un seul angle obtus.
Comment calculer les angles d'un quadrilatère ?
On le coupe en deux triangles par une diagonale : la somme de ses angles vaut donc $2\times 180° = 360°$. Pour un polygone à $n$ côtés, la somme vaut $(n-2)\times 180°$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Angles et triangles en Cinquième, voici le reste des ressources du site :