Cinquième · Fiche méthode 7 sur 12 · Proportionnalité
Comment calculer un pourcentage ?
Prendre $t\,\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$. Inversement, pour savoir quel pourcentage une partie représente d'un total, on calcule $\dfrac{\text{partie}}{\text{total}}\times 100$.
La méthode en 5 étapes
1Identifier la question
Deux situations très différentes : soit on connaît le pourcentage et on cherche une quantité, soit on connaît deux quantités et on cherche le pourcentage.
2Calculer un pourcentage d'une quantité
On multiplie par le pourcentage puis on divise par $100$ : $t\,\%$ de $N$ vaut $\dfrac{t\times N}{100}$. Pour $15\,\%$ de $80$ : $\dfrac{15\times 80}{100}=12$.
3Trouver un pourcentage à partir de deux nombres
On divise la partie par le total, puis on multiplie par $100$ : $\dfrac{18}{30}\times 100 = 60$, donc $18$ représente $60\,\%$ de $30$.
4Appliquer une hausse ou une baisse
Une remise de $t\,\%$ : on calcule la remise et on la soustrait, ou on multiplie directement par $\left(1-\dfrac{t}{100}\right)$. Une hausse : on multiplie par $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$.
5Contrôler la vraisemblance
Un pourcentage inférieur à $100\,\%$ donne un résultat plus petit que le total. $50\,\%$, c'est la moitié ; $25\,\%$, le quart ; $10\,\%$, le total divisé par $10$.
Un exemple entièrement résolu
Un jean coûte $60$ €. Il est soldé à $-30\,\%$. Quel est son nouveau prix ? Par ailleurs, sur $25$ élèves, $15$ font de l'allemand : quel pourcentage cela représente-t-il ?
$30\,\%$ de $60$ € : $\dfrac{30\times 60}{100}=\dfrac{1800}{100}=18$ €.
$60-18 = 42$ €. On peut aussi faire d'un coup $60\times 0{,}7 = 42$ €, puisque payer avec $-30\,\%$ revient à payer $70\,\%$ du prix.
$\dfrac{15}{25}\times 100$. Or $\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}=0{,}6$, donc $0{,}6\times 100 = 60$.
$15$ sur $25$, c'est un peu plus de la moitié : $60\,\%$ est cohérent.
Conclusion. Le jean soldé coûte $42$ €, et $60\,\%$ des élèves font de l'allemand.
Les erreurs à ne pas faire
- Confondre la remise et le prix final : la remise vaut $18$ €, le prix payé vaut $42$ €.
- Diviser par le mauvais nombre dans $\dfrac{\text{partie}}{\text{total}}$ : c'est toujours le total qui est au dénominateur.
- Enchaîner deux pourcentages en les additionnant : $-20\,\%$ puis $-10\,\%$ ne fait pas $-30\,\%$, mais $\times 0{,}8\times 0{,}9 = \times 0{,}72$, soit $-28\,\%$.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer $20\,\%$ de $350$ € et $7\,\%$ de $200$ habitants.
Voir le corrigé
$20\,\%$ de $350$ : $\dfrac{20\times 350}{100}=70$ €.
$7\,\%$ de $200$ : $\dfrac{7\times 200}{100}=14$ habitants.
- Exercice 2
Un article passe de $80$ € à $92$ €. Quel est le pourcentage d'augmentation ?
Voir le corrigé
Augmentation en euros : $92-80 = 12$ €. On la compare au prix de départ : $\dfrac{12}{80}\times 100 = 15$.
L'augmentation est de $15\,\%$.
- Exercice 3
Après une remise de $25\,\%$, un vélo coûte $270$ €. Quel était son prix initial ?
Voir le corrigé
$270$ € représente $75\,\%$ du prix initial. Donc $1\,\%$ vaut $270\div 75 = 3{,}6$ €, et $100\,\%$ vaut $3{,}6\times 100 = 360$ €.
Le prix initial était de $360$ €. Vérification : $360\times 0{,}75 = 270$ €.
Questions fréquentes
Comment calculer un pourcentage de tête ?
On part de repères simples : $10\,\%$ = diviser par $10$, $50\,\%$ = diviser par $2$, $25\,\%$ = diviser par $4$, $1\,\%$ = diviser par $100$. Pour $35\,\%$ de $80$, on fait $10\,\%$ trois fois ($24$) plus la moitié de $10\,\%$ ($4$), soit $28$.
Pourquoi multiplier par 0,7 pour une remise de 30 % ?
Parce que retirer $30\,\%$ revient à garder $70\,\%$, et $70\,\%$ s'écrit $\dfrac{70}{100}=0{,}7$. Ce nombre s'appelle le coefficient multiplicateur : il permet d'enchaîner plusieurs évolutions en multipliant les coefficients, ce qu'on utilisera beaucoup en seconde.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Proportionnalité en Cinquième, voici le reste des ressources du site :