Cinquième · Fiche méthode 1 sur 12 · Nombres relatifs
Comment additionner des nombres relatifs ?
Si les deux nombres ont le même signe, on additionne les distances à zéro et on garde le signe. S'ils sont de signes contraires, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on garde le signe du nombre le plus éloigné de zéro.
La méthode en 5 étapes
1Transformer les soustractions
Soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé : $a-(-b)=a+b$ et $a-(+b)=a-b$. On commence toujours par n'avoir que des additions.
2Comparer les signes
Deux signes identiques ou deux signes contraires : c'est cette question qui décide de la règle à appliquer.
3Signes identiques : on additionne
$(-7)+(-5)=-12$ : on additionne $7$ et $5$, et on garde le signe $-$.
4Signes contraires : on soustrait
$(-7)+(+5)$ : on calcule $7-5=2$, et le résultat prend le signe de $-7$, le plus éloigné de zéro. Donc $(-7)+(+5)=-2$.
5Somme longue : regrouper
Dans une somme de plusieurs termes, on regroupe tous les positifs d'un côté, tous les négatifs de l'autre, puis on termine avec une seule addition de signes contraires.
Un exemple entièrement résolu
Calculer $A = (-8)+(+3)-(-6)-(+11)$.
$-(-6)$ devient $+6$ et $-(+11)$ devient $-11$ :
$A = (-8)+(+3)+(+6)+(-11)$
Positifs : $3+6 = 9$. Négatifs : $(-8)+(-11) = -19$ (signes identiques, on additionne les distances à zéro).
$A = (+9)+(-19)$ : signes contraires, on calcule $19-9=10$ et on garde le signe de $-19$.
$A = -10$.
Conclusion. $A = -10$. On vérifie l'ordre de grandeur : les négatifs l'emportent largement, le résultat devait être négatif.
Les erreurs à ne pas faire
- Appliquer la règle des signes de la multiplication à une addition : $(-3)+(-4)$ vaut $-7$, et non $+7$.
- Oublier de transformer la soustraction : $5-(-2)$ vaut $7$, pas $3$.
- Garder le signe du premier nombre écrit plutôt que celui du plus éloigné de zéro.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer : $(-12)+(-9)$ ; $(-15)+(+20)$ ; $(+7)-(+13)$.
Voir le corrigé
$(-12)+(-9) = -21$ (mêmes signes : $12+9$, signe $-$).
$(-15)+(+20) = +5$ (signes contraires : $20-15$, signe de $+20$).
$(+7)-(+13) = 7-13 = -6$.
- Exercice 2
Calculer $B = (-4)-(-9)+(-6)-(+2)$.
Voir le corrigé
On transforme : $B = (-4)+(+9)+(-6)+(-2)$.
Positifs : $9$. Négatifs : $(-4)+(-6)+(-2) = -12$. Puis $9-12 = -3$.
$B = -3$.
- Exercice 3
À 6 h, il fait $-7$ °C. La température monte de $12$ °C dans la journée, puis redescend de $5$ °C la nuit. Quelle est la température finale ?
Voir le corrigé
$(-7)+(+12) = +5$ °C à la fin de la journée. Puis $(+5)+(-5) = 0$.
La température finale est de $0$ °C.
Questions fréquentes
Qu'appelle-t-on la distance à zéro ?
C'est le nombre lu sans son signe : la distance à zéro de $-7$ vaut $7$, celle de $+7$ vaut aussi $7$. On l'appellera plus tard la valeur absolue. Elle sert dans les deux règles d'addition : on additionne ou on soustrait des distances à zéro, jamais des nombres signés.
Peut-on changer l'ordre des termes ?
Oui, à condition de déplacer chaque nombre avec son signe. $(-8)+(+3)$ est égal à $(+3)+(-8)$. C'est exactement ce qui permet de regrouper les positifs entre eux et les négatifs entre eux dans une somme longue.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Nombres relatifs en Cinquième, voici le reste des ressources du site :