Première · Fiche méthode 1 sur 12 · Second degré
Comment résoudre une équation du second degré ?
On écrit l'équation sous la forme $ax^2+bx+c = 0$, on calcule le discriminant $\Delta = b^2-4ac$, puis on conclut : deux racines si $\Delta>0$, une racine double si $\Delta = 0$, aucune racine réelle si $\Delta<0$.
La méthode en 5 étapes
1Mettre l'équation sous forme canonique du second degré
Tout doit être ramené d'un seul côté : $ax^2+bx+c = 0$, avec $a\neq 0$. On identifie ensuite $a$, $b$ et $c$ avec leurs signes.
2Chercher d'abord une solution évidente
Si $c = 0$, on factorise par $x$ ; s'il n'y a pas de terme en $x$, on isole $x^2$. Ces cas se traitent sans discriminant, et bien plus vite.
3Calculer le discriminant
$\Delta = b^2-4ac$. On écrit le calcul en entier, avec des parenthèses autour des valeurs négatives.
4Appliquer la formule selon le signe de Δ
$\Delta>0$ : $x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. $\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$. $\Delta<0$ : pas de racine réelle.
5Vérifier
Somme des racines $= -\dfrac{b}{a}$ et produit $= \dfrac{c}{a}$ : c'est un contrôle immédiat et très efficace.
Un exemple entièrement résolu
Résoudre $2x^2-7x+3 = 0$.
$a = 2$, $b = -7$, $c = 3$.
$\Delta = (-7)^2-4\times 2\times 3 = 49-24 = 25$.
$\Delta = 25>0$ : l'équation admet deux racines réelles distinctes, avec $\sqrt{\Delta} = 5$.
$x_1 = \dfrac{7-5}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = \dfrac{7+5}{4}=3$.
Somme : $\dfrac{1}{2}+3 = 3{,}5 = \dfrac{7}{2} = -\dfrac{b}{a}$. Produit : $\dfrac{1}{2}\times 3 = \dfrac{3}{2} = \dfrac{c}{a}$. Les deux vérifications passent.
Conclusion. $S = \left\{\dfrac{1}{2}\,;3\right\}$.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier le signe de $b$ dans $\Delta$ et dans les formules : avec $b = -7$, c'est $-b = 7$ qui apparaît au numérateur.
- Diviser par $a$ au lieu de $2a$.
- Calculer un discriminant alors que l'équation se factorise immédiatement, comme $x^2-5x = 0$.
- Écrire « pas de solution » pour $\Delta<0$ sans préciser « dans $\mathbb{R}$ ».
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Résoudre $x^2-5x+6 = 0$.
Voir le corrigé
$\Delta = 25-24 = 1>0$, $\sqrt{\Delta} = 1$.
$x_1 = \dfrac{5-1}{2}=2$ et $x_2 = \dfrac{5+1}{2}=3$. $S = \{2\,;3\}$.
- Exercice 2
Résoudre $x^2+4x+4 = 0$.
Voir le corrigé
$\Delta = 16-16 = 0$ : racine double.
$x_0 = \dfrac{-4}{2}=-2$. $S = \{-2\}$. On reconnaissait d'ailleurs $(x+2)^2 = 0$.
- Exercice 3
Résoudre $3x^2-2x+5 = 0$.
Voir le corrigé
$\Delta = 4-60 = -56<0$.
L'équation n'a aucune solution réelle : $S = \varnothing$.
Questions fréquentes
Que signifie le signe du discriminant graphiquement ?
Il indique le nombre de points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses : deux si $\Delta>0$, un seul point de tangence si $\Delta = 0$, aucun si $\Delta<0$. La parabole est alors entièrement au-dessus ou au-dessous de l'axe.
Peut-on éviter le discriminant ?
Souvent, oui. $x^2 = 16$ donne directement $x = \pm 4$ ; $x^2-3x = 0$ se factorise en $x(x-3) = 0$. Et si une racine évidente comme $1$ ou $-1$ annule l'équation, la seconde s'obtient par le produit $\dfrac{c}{a}$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Second degré en Première, voici le reste des ressources du site :