Première · Fiche méthode 10 sur 12 · Produit scalaire
Comment montrer que deux droites sont perpendiculaires ?
Deux droites sont perpendiculaires lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux, c'est-à-dire lorsque leur produit scalaire est nul : $xx'+yy' = 0$.
La méthode en 5 étapes
1Trouver un vecteur directeur de chaque droite
Deux points de la droite donnent un vecteur directeur. À partir de $y = mx+p$, on peut prendre $\begin{pmatrix} 1 \\ m\end{pmatrix}$ ; à partir de $ax+by+c = 0$, on prend $\begin{pmatrix} -b \\ a\end{pmatrix}$.
2Calculer le produit scalaire
$xx'+yy'$, avec tout le calcul écrit.
3Conclure
Produit nul : les vecteurs sont orthogonaux, donc les droites sont perpendiculaires. Produit non nul : elles ne le sont pas.
4Utiliser le critère des coefficients directeurs
Pour deux droites non verticales, elles sont perpendiculaires si et seulement si $m\times m' = -1$. C'est plus rapide quand les équations réduites sont connues.
5Rédiger
« $\vec{AB}\cdot\vec{CD} = 0$, donc $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires. »
Un exemple entièrement résolu
$A(1\,;1)$, $B(4\,;3)$, $C(0\,;5)$ et $D(2\,;2)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles perpendiculaires ?
$\vec{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}$ et $\vec{CD}\begin{pmatrix} 2 \\ -3\end{pmatrix}$.
$\vec{AB}\cdot\vec{CD} = 3\times 2+2\times(-3) = 6-6 = 0$.
Le produit scalaire est nul : les vecteurs sont orthogonaux.
Coefficients directeurs : $m = \dfrac{2}{3}$ pour $(AB)$ et $m' = -\dfrac{3}{2}$ pour $(CD)$. Leur produit vaut $-1$ : les deux critères concordent.
Conclusion. $\vec{AB}\cdot\vec{CD} = 0$, donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
Les erreurs à ne pas faire
- Chercher un produit scalaire égal à $-1$ : c'est le produit des coefficients directeurs qui vaut $-1$, pas le produit scalaire, qui doit être nul.
- Utiliser le critère $mm' = -1$ avec une droite verticale, qui n'a pas de coefficient directeur.
- Confondre orthogonalité (produit scalaire nul) et colinéarité (déterminant nul).
- Conclure sans écrire la phrase reliant le calcul à la question.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Les droites d'équations $y = 2x+1$ et $y = -0{,}5x+4$ sont-elles perpendiculaires ?
Voir le corrigé
$m\times m' = 2\times(-0{,}5) = -1$.
Oui, elles sont perpendiculaires.
- Exercice 2
$\vec{u}\begin{pmatrix} 4 \\ -6\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}$ sont-ils orthogonaux ?
Voir le corrigé
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 4\times 3+(-6)\times 2 = 12-12 = 0$.
Oui, ces deux vecteurs sont orthogonaux.
- Exercice 3
$A(2\,;1)$, $B(5\,;7)$ et $C(8\,;0)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $B$ ?
Voir le corrigé
$\vec{BA}\begin{pmatrix} -3 \\ -6\end{pmatrix}$ et $\vec{BC}\begin{pmatrix} 3 \\ -7\end{pmatrix}$.
$\vec{BA}\cdot\vec{BC} = -9+42 = 33\neq 0$ : le triangle n'est pas rectangle en $B$.
Questions fréquentes
Pourquoi le produit scalaire s'annule-t-il pour des vecteurs perpendiculaires ?
Parce que $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$ et que $\cos(90°) = 0$. Dès que l'angle est droit, le produit est nul quelles que soient les longueurs ; réciproquement, un produit nul avec des vecteurs non nuls impose $\cos\theta = 0$.
Comment trouver une droite perpendiculaire à une autre ?
On prend un vecteur orthogonal au vecteur directeur : à partir de $\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}$, le vecteur $\begin{pmatrix} -b \\ a\end{pmatrix}$ convient toujours. Avec l'équation réduite, le coefficient directeur cherché est $-\dfrac{1}{m}$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Produit scalaire en Première, voici le reste des ressources du site :