Première · Fiche méthode 2 sur 12 · Second degré
Comment factoriser un trinôme du second degré ?
Si le trinôme $ax^2+bx+c$ a deux racines $x_1$ et $x_2$, il se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$. Avec une racine double : $a(x-x_0)^2$. Si $\Delta<0$, aucune factorisation n'est possible dans $\mathbb{R}$.
La méthode en 5 étapes
1Tester les factorisations rapides
Facteur commun ou identité remarquable : $2x^2-8 = 2(x-2)(x+2)$ s'obtient sans discriminant.
2Calculer le discriminant
$\Delta = b^2-4ac$, comme pour la résolution.
3Trouver les racines
Avec les formules habituelles si $\Delta>0$, ou $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ si $\Delta = 0$.
4Écrire la forme factorisée
$a(x-x_1)(x-x_2)$. Le coefficient $a$ ne doit pas être oublié : c'est l'erreur la plus fréquente.
5Vérifier en développant
On redéveloppe rapidement, au moins le terme constant : $a\times x_1\times x_2$ doit redonner $c$.
Un exemple entièrement résolu
Factoriser $f(x) = 3x^2+3x-18$.
On peut d'abord sortir $3$ : $f(x) = 3(x^2+x-6)$. Les calculs seront plus simples.
Pour $x^2+x-6$ : $\Delta = 1+24 = 25>0$, $\sqrt{\Delta} = 5$.
$x_1 = \dfrac{-1-5}{2}=-3$ et $x_2 = \dfrac{-1+5}{2}=2$.
$x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$, donc $f(x) = 3(x+3)(x-2)$.
Terme constant : $3\times 3\times(-2) = -18$. C'est bien celui de départ.
Conclusion. $f(x) = 3(x+3)(x-2)$.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier le coefficient $a$ devant les parenthèses : $3x^2+3x-18$ n'est pas $(x+3)(x-2)$.
- Se tromper de signe dans $(x-x_1)$ : pour $x_1 = -3$, le facteur est $(x+3)$.
- Vouloir factoriser un trinôme de discriminant négatif : c'est impossible dans $\mathbb{R}$.
- Confondre forme factorisée et forme canonique : la première fait apparaître les racines, la seconde le sommet.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Factoriser $x^2-7x+12$.
Voir le corrigé
$\Delta = 49-48 = 1$, racines $x_1 = 3$ et $x_2 = 4$.
$x^2-7x+12 = (x-3)(x-4)$.
- Exercice 2
Factoriser $-2x^2+8x-8$.
Voir le corrigé
$\Delta = 64-4\times(-2)\times(-8) = 64-64 = 0$ : racine double $x_0 = \dfrac{-8}{-4}=2$.
$-2x^2+8x-8 = -2(x-2)^2$.
- Exercice 3
Résoudre $x^2+2x-15\le 0$ après factorisation.
Voir le corrigé
$\Delta = 4+60 = 64$, racines $-5$ et $3$, donc $x^2+2x-15 = (x+5)(x-3)$.
Le trinôme est du signe de $a = 1>0$ à l'extérieur des racines, négatif entre elles : $S = [-5\,;3]$.
Questions fréquentes
À quoi sert la forme factorisée ?
À lire immédiatement les racines, donc à résoudre $f(x) = 0$, et à étudier le signe du trinôme grâce à un tableau de signes. La forme développée donne l'ordonnée à l'origine, la forme canonique donne le sommet : chaque écriture sert à une question différente.
Comment retrouver la forme canonique ?
$f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha = \dfrac{-b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Elle donne directement le sommet de la parabole, donc l'extremum de la fonction, ce que la forme factorisée ne montre pas.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Second degré en Première, voici le reste des ressources du site :