Première · Fiche méthode 3 sur 12 · Second degré
Comment étudier le signe d'un trinôme ?
Un trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Si $\Delta<0$, il garde le signe de $a$ partout ; si $\Delta = 0$, il garde le signe de $a$ en s'annulant en un point.
La méthode en 5 étapes
1Calculer le discriminant
Il décide du nombre de racines, donc de la forme du tableau de signes.
2Déterminer les racines
Si $\Delta>0$, on calcule $x_1$ et $x_2$ et on les range dans l'ordre croissant.
3Appliquer la règle du signe
À l'extérieur de $[x_1\,;x_2]$, le trinôme est du signe de $a$ ; entre les racines, du signe opposé.
4Dresser le tableau de signes
Une ligne pour $x$, une pour le trinôme, avec des zéros sous les racines.
5Conclure sur l'inéquation
On lit les intervalles où le signe convient. Crochets fermés pour une inégalité large, ouverts pour une stricte.
Un exemple entièrement résolu
Résoudre $-x^2+4x+5>0$.
$a = -1$, $b = 4$, $c = 5$.
$\Delta = 16+20 = 36>0$, $\sqrt{\Delta} = 6$. $x_1 = \dfrac{-4-6}{-2}=5$ et $x_2 = \dfrac{-4+6}{-2}=-1$. Rangées : $-1$ puis $5$.
$a = -1<0$ : le trinôme est négatif à l'extérieur de $[-1\,;5]$ et positif entre $-1$ et $5$.
On cherche les $x$ où le trinôme est strictement positif : c'est l'intervalle ouvert entre les racines.
Conclusion. $S = ]-1\,;5[$.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier le signe de $a$ : avec $a<0$, tout le tableau est inversé.
- Ranger les racines dans l'ordre où elles ont été calculées plutôt qu'en ordre croissant.
- Conclure « aucune solution » quand $\Delta<0$ : le trinôme ne s'annule pas, mais il garde un signe constant, et l'inéquation peut avoir $\mathbb{R}$ pour solution.
- Inclure les racines dans une inégalité stricte.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Étudier le signe de $x^2-3x-10$.
Voir le corrigé
$\Delta = 9+40 = 49$, racines $-2$ et $5$. Comme $a = 1>0$ :
positif sur $]-\infty\,;-2[$ et $]5\,;+\infty[$, négatif sur $]-2\,;5[$, nul en $-2$ et $5$.
- Exercice 2
Résoudre $x^2+x+3>0$.
Voir le corrigé
$\Delta = 1-12 = -11<0$ : pas de racine. Le trinôme garde donc le signe de $a = 1>0$ sur tout $\mathbb{R}$.
$S = \mathbb{R}$ : l'inéquation est vraie pour tout réel.
- Exercice 3
Résoudre $2x^2-8x\ge 0$.
Voir le corrigé
On factorise : $2x(x-4)\ge 0$, racines $0$ et $4$, avec $a = 2>0$.
Le trinôme est positif à l'extérieur des racines : $S = ]-\infty\,;0]\cup[4\,;+\infty[$.
Questions fréquentes
Comment retenir la règle du signe ?
Par la parabole : si $a>0$ elle est tournée vers le haut, donc elle passe sous l'axe seulement entre ses deux racines. « Du signe de $a$ à l'extérieur des racines » n'est qu'une traduction de ce dessin, qu'il vaut mieux savoir refaire que mémoriser.
Et si le trinôme est au dénominateur ?
On étudie son signe de la même façon, mais ses racines deviennent des valeurs interdites : on les marque d'une double barre dans le tableau et elles ne peuvent jamais appartenir à l'ensemble des solutions.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Second degré en Première, voici le reste des ressources du site :