Première · Fiche méthode 5 sur 12 · Dérivation
Comment déterminer l'équation d'une tangente ?
La tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x-a)+f(a)$. Il faut donc trois nombres : $a$, $f(a)$ et $f'(a)$.
La méthode en 5 étapes
1Repérer le point de tangence
L'abscisse $a$ est donnée par l'énoncé (« au point d'abscisse $2$ »).
2Calculer f(a)
C'est l'ordonnée du point de contact.
3Calculer la dérivée puis f'(a)
On dérive la fonction, puis on remplace $x$ par $a$. Dériver après avoir remplacé donnerait toujours zéro.
4Remplacer dans la formule
$y = f'(a)(x-a)+f(a)$, puis on développe et on réduit pour obtenir la forme $y = mx+p$.
5Vérifier
La tangente doit passer par le point de tangence : en remplaçant $x$ par $a$ dans l'équation trouvée, on doit obtenir $f(a)$.
Un exemple entièrement résolu
Soit $f(x) = x^2-3x+4$. Déterminer l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $a = 2$.
$f(2) = 4-6+4 = 2$. Le point de tangence est $A(2\,;2)$.
$f'(x) = 2x-3$.
$f'(2) = 4-3 = 1$ : le coefficient directeur de la tangente vaut $1$.
$y = 1\times(x-2)+2 = x-2+2$, soit $y = x$.
Pour $x = 2$, l'équation donne $y = 2 = f(2)$. La tangente passe bien par le point de contact.
Conclusion. La tangente au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = x$.
Les erreurs à ne pas faire
- Confondre $f(a)$ et $f'(a)$ dans la formule : $f'(a)$ est la pente, $f(a)$ l'ordonnée du point.
- Remplacer $x$ par $a$ avant de dériver.
- Écrire $(x+a)$ au lieu de $(x-a)$.
- Oublier de réduire l'équation finale sous la forme $y = mx+p$ quand l'énoncé la demande.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Soit $f(x) = x^3$. Déterminer la tangente au point d'abscisse $1$.
Voir le corrigé
$f(1) = 1$ ; $f'(x) = 3x^2$ donc $f'(1) = 3$.
$y = 3(x-1)+1 = 3x-2$.
- Exercice 2
Soit $f(x) = \dfrac{1}{x}$. Déterminer la tangente au point d'abscisse $2$.
Voir le corrigé
$f(2) = \dfrac{1}{2}$ ; $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ donc $f'(2) = -\dfrac{1}{4}$.
$y = -\dfrac{1}{4}(x-2)+\dfrac{1}{2} = -\dfrac{x}{4}+1$.
- Exercice 3
Soit $f(x) = x^2-4x+1$. En quel point la tangente est-elle horizontale ?
Voir le corrigé
Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul : on résout $f'(x) = 0$, soit $2x-4 = 0$ et $x = 2$.
$f(2) = 4-8+1 = -3$ : la tangente est horizontale au point $(2\,;-3)$, qui est le sommet de la parabole. Son équation est $y = -3$.
Questions fréquentes
Que signifie une tangente horizontale ?
Que $f'(a) = 0$ : la fonction ne varie pas instantanément en ce point. C'est souvent le signe d'un extremum local, mais pas toujours : pour $f(x) = x^3$ en $0$, la dérivée s'annule sans que la fonction change de sens de variation.
La courbe peut-elle couper sa tangente ?
Oui. La tangente touche la courbe en un point et lui ressemble localement, mais rien ne l'empêche de la traverser, comme pour $x\mapsto x^3$ à l'origine, ni de la recouper ailleurs. « Tangente » est une propriété locale, pas globale.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Dérivation en Première, voici le reste des ressources du site :