Première · Fiche méthode 6 sur 12 · Dérivation
Comment étudier les variations d'une fonction avec la dérivée ?
On calcule $f'$, on étudie son signe, et on en déduit les variations : $f$ est croissante là où $f'$ est positive, décroissante là où $f'$ est négative. Un changement de signe de $f'$ signale un extremum.
La méthode en 5 étapes
1Donner l'ensemble de définition
Les variations s'étudient sur cet ensemble ; les valeurs interdites y créent des coupures.
2Calculer la dérivée
Avec les formules d'opérations. On garde une forme factorisée : c'est elle qui permettra d'étudier le signe.
3Étudier le signe de f'
Tableau de signes si $f'$ est un produit ou un quotient ; règle du signe du trinôme si $f'$ est du second degré. Un dénominateur au carré est toujours positif : seul le numérateur compte.
4Dresser le tableau de variations
Trois lignes : $x$, le signe de $f'(x)$, puis les variations de $f$ avec des flèches et les images aux points charnières.
5Conclure sur les extremums
$f'$ passant du $+$ au $-$ : maximum local. Du $-$ au $+$ : minimum local. On calcule la valeur de $f$ en ce point.
Un exemple entièrement résolu
Étudier les variations de $f(x) = x^3-3x^2+2$ sur $\mathbb{R}$.
$f'(x) = 3x^2-6x = 3x(x-2)$.
Racines : $0$ et $2$. Coefficient dominant $3>0$ : $f'$ est positive à l'extérieur de $[0\,;2]$ et négative entre $0$ et $2$.
$f$ est croissante sur $]-\infty\,;0]$, décroissante sur $[0\,;2]$, croissante sur $[2\,;+\infty[$.
$f(0) = 2$ : maximum local. $f(2) = 8-12+2 = -2$ : minimum local.
Conclusion. $f$ croît jusqu'à un maximum local de $2$ en $x = 0$, décroît jusqu'à un minimum local de $-2$ en $x = 2$, puis croît de nouveau.
Les erreurs à ne pas faire
- Étudier le signe de $f$ au lieu de celui de $f'$.
- Conclure à un extremum dès que $f'$ s'annule : il faut un changement de signe.
- Oublier qu'un dénominateur au carré est toujours strictement positif, et perdre du temps à l'étudier.
- Relier les deux branches d'une fonction non définie en un point : le tableau doit comporter une double barre.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Étudier les variations de $f(x) = x^2-6x+5$ sur $\mathbb{R}$.
Voir le corrigé
$f'(x) = 2x-6$, qui s'annule en $3$, négative avant, positive après.
$f$ décroît sur $]-\infty\,;3]$ puis croît sur $[3\,;+\infty[$. Minimum : $f(3) = -4$.
- Exercice 2
Étudier les variations de $f(x) = \dfrac{x-1}{x+2}$ sur son ensemble de définition.
Voir le corrigé
$D_f = \mathbb{R}\setminus\{-2\}$. $f'(x) = \dfrac{1\times(x+2)-(x-1)}{(x+2)^2}=\dfrac{3}{(x+2)^2}$.
Le numérateur est positif et le dénominateur aussi : $f'>0$. La fonction est croissante sur chacun des deux intervalles $]-\infty\,;-2[$ et $]-2\,;+\infty[$.
- Exercice 3
Un enclos rectangulaire est adossé à un mur ; on dispose de $60$ m de grillage pour les trois autres côtés. Quelle largeur maximise l'aire ?
Voir le corrigé
Si $x$ est la largeur (deux côtés), la longueur vaut $60-2x$ et l'aire est $A(x) = x(60-2x) = 60x-2x^2$ sur $]0\,;30[$.
$A'(x) = 60-4x$, qui s'annule en $x = 15$, positive avant, négative après : $A$ atteint un maximum en $x = 15$.
La largeur optimale est $15$ m, pour une longueur de $30$ m et une aire de $450$ m².
Questions fréquentes
Pourquoi le signe de la dérivée donne-t-il les variations ?
Parce que $f'(a)$ est la pente de la tangente en $a$. Une pente positive signifie une tangente montante, donc une fonction qui croît localement. Le théorème qui relie signe de $f'$ et sens de variation généralise cette lecture à tout un intervalle.
Que faire si la dérivée ne se factorise pas ?
Si $f'$ est un trinôme, on utilise le discriminant et la règle du signe. Si elle est plus compliquée, on étudie ses variations à son tour en calculant $f''$, ou on s'appuie sur le théorème des valeurs intermédiaires pour localiser ses racines. C'est un travail de terminale.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Dérivation en Première, voici le reste des ressources du site :