PGCD : définition

Au programme de 3e

Définition

Le PGCD de deux entiers est le plus grand nombre entier qui divise ces deux nombres à la fois.

Notation : $\text{PGCD}(a\,;\,b)$, parfois noté $a \wedge b$.

En clair

C'est le plus grand « diviseur en commun » : celui qui permet de simplifier au maximum.

Ce qu'il faut retenir

On le trouve par la liste des diviseurs, par la décomposition en facteurs premiers, ou par l'algorithme d'Euclide.
Algorithme d'Euclide : $\text{PGCD}(a\,;\,b) = \text{PGCD}(b\,;\,r)$ où $r$ est le reste de la division de $a$ par $b$.
Deux nombres sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD vaut 1.
Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD rend la fraction irréductible.
Le PGCD sert à résoudre les problèmes de partage en parts égales les plus grandes possibles.

Exemple

$\text{PGCD}(84\,;\,126)$ par l'algorithme d'Euclide : $126 = 84 \times 1 + 42$, puis $84 = 42 \times 2 + 0$. Le dernier reste non nul est 42 : le PGCD vaut 42.

À ne pas confondre avec

PPCM — le PPCM est un multiple commun, donc plus grand que les deux nombres.

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Termes liés

PPCM Diviseur Nombre premier Fraction irréductible Nombres premiers entre eux Division euclidienne Décomposition en facteurs premiers Nombre irrationnel Nombre rationnel Racine carrée

Questions fréquentes sur « pgcd »

Comment calculer un PGCD ?

Le plus efficace est l'algorithme d'Euclide : on remplace le couple $(a\,;\,b)$ par $(b\,;\,r)$ jusqu'à tomber sur un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.

À quoi sert le PGCD ?

À rendre une fraction irréductible et à résoudre les problèmes de partage en parts égales le plus grandes possibles.

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