Terminale · Fiche méthode 2 sur 12 · Limites
Comment lever une forme indéterminée ?
Quatre techniques couvrent presque tous les cas : factoriser par le terme dominant pour les polynômes et quotients, multiplier par la quantité conjuguée quand il y a des racines, factoriser pour une forme $\dfrac{0}{0}$, et invoquer les croissances comparées avec $\mathrm{e}^x$ ou $\ln x$.
La méthode en 5 étapes
1Nommer la forme indéterminée
On écrit explicitement « c'est une forme indéterminée du type $\dfrac{\infty}{\infty}$ » : cela oriente la technique et c'est attendu dans la rédaction.
2Polynômes et quotients : terme dominant
En $\pm\infty$, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Pour un quotient, on factorise haut et bas par la plus haute puissance.
3Racines carrées : quantité conjuguée
Pour $\sqrt{A}-\sqrt{B}$, on multiplie et on divise par $\sqrt{A}+\sqrt{B}$ : le numérateur devient $A-B$, sans racine.
4Forme 0/0 en un réel : factoriser
Le nombre $a$ est racine du numérateur et du dénominateur : on factorise par $(x-a)$ et on simplifie. On peut aussi reconnaître un taux de variation, dont la limite est un nombre dérivé.
5Exponentielle ou logarithme : croissances comparées
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$ : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur le logarithme.
Un exemple entièrement résolu
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$ et $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$.
$\sqrt{x^2+x}\to+\infty$ et $x\to+\infty$ : forme $\infty-\infty$.
$\sqrt{x^2+x}-x = \dfrac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$.
$=\dfrac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}\longrightarrow\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$.
En $3$, c'est une forme $\dfrac{0}{0}$. On factorise : $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\longrightarrow 6$.
Conclusion. $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \dfrac{1}{2}$ et $\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3} = 6$.
Les erreurs à ne pas faire
- Conclure que $\infty-\infty = 0$ : l'exemple ci-dessus donne $\dfrac{1}{2}$, une autre expression donnerait $+\infty$.
- Simplifier par $(x-a)$ sans avoir vérifié que $a$ annule bien les deux termes.
- Oublier que $\sqrt{x^2} = |x|$, ce qui change tout en $-\infty$.
- Appliquer les croissances comparées dans le mauvais sens : c'est toujours l'exponentielle qui l'emporte.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{4x^2-x+1}{2x^2+3}$.
Voir le corrigé
Forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. On factorise par $x^2$ : $\dfrac{4-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{3}{x^2}}$.
La limite vaut $\dfrac{4}{2}=2$.
- Exercice 2
Calculer $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^2}$ et $\lim\limits_{x\to+\infty} x\mathrm{e}^{-x}$.
Voir le corrigé
Par croissances comparées, $\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^2}\to+\infty$.
$x\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{x}{\mathrm{e}^x}$, qui tend vers $0$ pour la même raison.
- Exercice 3
Calculer $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{(2+h)^2-4}{h}$.
Voir le corrigé
Forme $\dfrac{0}{0}$. On développe : $\dfrac{4+4h+h^2-4}{h}=\dfrac{h(4+h)}{h}=4+h\longrightarrow 4$.
On reconnaît le nombre dérivé de $x\mapsto x^2$ en $2$, qui vaut bien $2\times 2 = 4$.
Questions fréquentes
Comment choisir la bonne technique ?
La forme de l'expression décide : des racines appellent la quantité conjuguée, des polynômes le terme dominant, une forme $\dfrac{0}{0}$ en un réel une factorisation, et la présence de $\mathrm{e}^x$ ou $\ln x$ les croissances comparées. Il est rare qu'un exercice de terminale sorte de ces quatre cas.
Que signifie « croissances comparées » ?
Que dans une compétition entre $\mathrm{e}^x$, $x^n$ et $\ln x$ en $+\infty$, l'exponentielle gagne toujours et le logarithme perd toujours, quelle que soit la puissance de $x$. C'est ce qui permet de conclure que $\dfrac{\mathrm{e}^x}{x^{100}}$ tend quand même vers $+\infty$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Limites en Terminale, voici le reste des ressources du site :