Terminale · Fiche méthode 10 sur 12 · Géométrie dans l'espace
Comment déterminer une représentation paramétrique d'une droite ?
Il faut un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$. La droite est alors l'ensemble des points $M$ tels que $\vec{AM} = t\vec{u}$, ce qui s'écrit coordonnée par coordonnée avec un paramètre $t$ réel.
La méthode en 5 étapes
1Trouver un point de la droite
Il est donné, ou bien on prend l'un des deux points connus.
2Trouver un vecteur directeur
Avec deux points : $\vec{AB}$. Si la droite est parallèle à une autre, on reprend le vecteur directeur de celle-ci.
3Écrire le système
$\begin{cases} x = x_A+t\,a \\ y = y_A+t\,b \\ z = z_A+t\,c\end{cases}$ avec $t\in\mathbb{R}$, où $(a\,;b\,;c)$ sont les coordonnées du vecteur directeur.
4Préciser le paramètre
On n'oublie pas d'écrire « $t\in\mathbb{R}$ » : sans cette mention, le système ne décrit pas la droite entière.
5Tester l'appartenance d'un point
On résout les trois équations en $t$ : le point appartient à la droite si et seulement si la même valeur de $t$ convient pour les trois coordonnées.
Un exemple entièrement résolu
$A(1\,;2\,;-1)$ et $B(3\,;5\,;1)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$, puis dire si $C(7\,;11\,;3)$ appartient à cette droite.
$\vec{AB}\,(2\,;3\,;2)$.
$\begin{cases} x = 1+2t \\ y = 2+3t \\ z = -1+2t\end{cases}$, $t\in\mathbb{R}$.
$7 = 1+2t$ donne $t = 3$ ; $11 = 2+3t$ donne $t = 3$ ; $3 = -1+2t$ donne $t = 2$.
Les deux premières équations donnent $t = 3$, la troisième $t = 2$ : aucune valeur ne convient simultanément.
Conclusion. Une représentation paramétrique de $(AB)$ est $\begin{cases} x = 1+2t \\ y = 2+3t \\ z = -1+2t\end{cases}$ avec $t\in\mathbb{R}$, et le point $C$ n'appartient pas à cette droite.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier de préciser $t\in\mathbb{R}$.
- Tester l'appartenance d'un point en trouvant un $t$ différent pour chaque coordonnée : la valeur doit être la même partout.
- Croire qu'une droite n'a qu'une seule représentation paramétrique : changer de point ou multiplier le vecteur directeur par un réel non nul donne une écriture différente de la même droite.
- Confondre représentation paramétrique (une droite dans l'espace) et équation cartésienne (un plan dans l'espace).
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Donner une représentation paramétrique de la droite passant par $D(0\,;1\,;4)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\,(1\,;-2\,;3)$.
Voir le corrigé
$\begin{cases} x = t \\ y = 1-2t \\ z = 4+3t\end{cases}$ avec $t\in\mathbb{R}$.
- Exercice 2
Le point $P(2\,;-3\,;10)$ appartient-il à la droite précédente ?
Voir le corrigé
$x = 2$ donne $t = 2$ ; $y = 1-2t = -3$ donne $t = 2$ ; $z = 4+3t = 10$ donne $t = 2$.
La même valeur convient pour les trois : le point $P$ appartient à la droite.
- Exercice 3
Les droites $d_1 : \begin{cases} x = 1+t \\ y = 2t \\ z = 3-t\end{cases}$ et $d_2 : \begin{cases} x = 4-2s \\ y = 1-4s \\ z = 2s\end{cases}$ sont-elles parallèles ?
Voir le corrigé
Vecteurs directeurs : $\vec{u}\,(1\,;2\,;-1)$ et $\vec{v}\,(-2\,;-4\,;2)$.
On remarque que $\vec{v} = -2\vec{u}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.
Questions fréquentes
Que représente le paramètre t ?
Il mesure le déplacement le long de la droite à partir du point $A$ : $t = 0$ donne $A$, $t = 1$ donne le point obtenu en ajoutant une fois le vecteur directeur. Chaque valeur réelle de $t$ correspond à exactement un point de la droite.
Comment savoir si deux droites de l'espace se coupent ?
On résout le système obtenu en égalant leurs trois coordonnées, avec deux paramètres distincts $t$ et $s$. Si le système a une solution, les droites se coupent au point correspondant ; sinon, et si elles ne sont pas parallèles, elles sont non coplanaires, situation propre à l'espace.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Géométrie dans l'espace en Terminale, voici le reste des ressources du site :