Sixième · Fiche méthode 7 sur 12 · Constructions géométriques
Comment tracer la médiatrice d'un segment ?
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. On la trace au compas en piquant successivement sur les deux extrémités avec le même écartement, puis en reliant les deux points d'intersection des arcs.
La méthode en 5 étapes
1Régler le compas
On prend un écartement plus grand que la moitié du segment. Sinon les arcs de cercle ne se croiseront pas.
2Tracer les arcs depuis la première extrémité
On pique la pointe en $A$ et on trace deux arcs, un de chaque côté du segment.
3Recommencer depuis l'autre extrémité
Sans toucher à l'écartement, on pique en $B$ et on trace deux arcs qui coupent les précédents. On obtient deux points d'intersection.
4Tracer la droite
On relie ces deux points à la règle : c'est la médiatrice. Elle coupe forcément le segment en son milieu.
5Coder la figure
On code l'angle droit avec un petit carré et l'égalité des deux demi-segments avec des marques identiques. Sans codage, la construction est incomplète.
Un exemple entièrement résolu
Tracer un segment $[AB]$ de $6$ cm, puis sa médiatrice. Où se coupe-t-elle avec $[AB]$ ?
On trace $[AB]$ tel que $AB=6$ cm.
La moitié du segment vaut $3$ cm : on prend un écartement de $4$ cm, plus grand que $3$ cm.
Pointe en $A$, écartement $4$ cm : deux arcs. Pointe en $B$, même écartement : deux arcs qui coupent les premiers en deux points, appelés $M$ et $N$.
La droite $(MN)$ est la médiatrice de $[AB]$. Elle coupe $[AB]$ en un point $I$ tel que $AI=IB=3$ cm et l'angle est droit.
Conclusion. La médiatrice coupe $[AB]$ en son milieu $I$, avec $AI=IB=3$ cm et un angle droit en $I$.
Les erreurs à ne pas faire
- Changer l'écartement du compas entre les deux extrémités : les arcs ne se croisent plus au bon endroit et la droite obtenue n'est pas la médiatrice.
- Prendre un écartement trop petit (plus petit que la moitié du segment) : les arcs ne se coupent jamais.
- Oublier de coder l'angle droit et l'égalité des longueurs sur la figure finale.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Tracer un segment $[EF]$ de $8$ cm et sa médiatrice. Quelle doit être la distance entre $E$ et le point d'intersection ?
Voir le corrigé
L'écartement du compas doit dépasser $4$ cm : on prend par exemple $5$ cm. La médiatrice coupe $[EF]$ en son milieu.
La distance entre $E$ et ce point est de $4$ cm, soit la moitié de $8$ cm.
- Exercice 2
Un point $P$ est situé sur la médiatrice de $[AB]$ et $PA = 5{,}7$ cm. Que vaut $PB$ ? Pourquoi ?
Voir le corrigé
Tout point de la médiatrice est à égale distance des deux extrémités du segment.
Donc $PB = PA = 5{,}7$ cm.
- Exercice 3
Deux villes $A$ et $B$ veulent construire une piscine à égale distance de chacune. Où peut-on la placer ?
Voir le corrigé
L'ensemble des points situés à égale distance de $A$ et de $B$ est exactement la médiatrice du segment $[AB]$.
La piscine peut être construite n'importe où sur la médiatrice de $[AB]$.
Questions fréquentes
Peut-on tracer la médiatrice sans compas ?
Oui : on mesure le segment, on marque son milieu à la règle graduée, puis on trace la perpendiculaire en ce point avec l'équerre. C'est plus rapide, mais moins précis que le compas, et certains énoncés imposent explicitement la construction au compas.
À quoi sert la médiatrice ?
Elle sert à trouver tous les points situés à égale distance de deux points donnés. C'est aussi la clé du centre du cercle circonscrit à un triangle : il se trouve à l'intersection des trois médiatrices des côtés, un résultat qu'on utilise dès la sixième pour les constructions.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Constructions géométriques en Sixième, voici le reste des ressources du site :