Sixième · Fiche méthode 8 sur 12 · Symétrie axiale
Comment construire le symétrique d'une figure ?
On construit le symétrique point par point : pour chaque sommet, on trace la perpendiculaire à l'axe, et on reporte de l'autre côté la même distance. On relie ensuite les points obtenus dans le même ordre que sur la figure de départ.
La méthode en 5 étapes
1Repérer les points utiles
Il suffit de construire le symétrique des sommets : les côtés se retracent tout seuls à la règle. Nommer les points ($A$, $B$, $C$…) évite de s'emmêler.
2Tracer la perpendiculaire à l'axe
Pour un point $A$, on trace à l'équerre la droite perpendiculaire à l'axe passant par $A$. C'est sur cette droite que se trouvera $A'$.
3Reporter la distance
On mesure la distance entre $A$ et l'axe, puis on reporte exactement la même distance de l'autre côté. Le compas, pointe sur l'axe, est plus précis que la règle.
4Recommencer pour chaque sommet
On obtient $A'$, $B'$, $C'$…
5Relier et vérifier
On relie les points symétriques dans le même ordre. Vérification : en pliant la feuille le long de l'axe, les deux figures doivent se superposer exactement.
Un exemple entièrement résolu
Construire le symétrique du triangle $ABC$ par rapport à la droite $(d)$, sachant que $A$ est à $2$ cm de $(d)$, $B$ à $3$ cm et $C$ sur $(d)$.
On trace la perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$, elle coupe $(d)$ en $H$. On place $A'$ sur cette perpendiculaire, de l'autre côté, avec $HA'=HA=2$ cm.
Même travail : perpendiculaire à $(d)$ passant par $B$, puis report de $3$ cm de l'autre côté. On obtient $B'$.
$C$ appartient à l'axe : sa distance à l'axe est nulle, donc $C'=C$. Un point de l'axe est son propre symétrique.
On relie $A'$, $B'$ et $C$ : le triangle $A'B'C$ est le symétrique de $ABC$ par rapport à $(d)$.
Conclusion. Le triangle $A'B'C$ est le symétrique de $ABC$ : il a exactement les mêmes longueurs et les mêmes angles, mais il est retourné.
Les erreurs à ne pas faire
- Tracer la droite de report « à l'œil » au lieu d'utiliser l'équerre : la perpendicularité est indispensable.
- Oublier qu'un point situé sur l'axe ne bouge pas.
- Relier les points dans le désordre : l'ordre des sommets doit être respecté, sinon la figure obtenue n'est pas la bonne.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Le point $M$ est à $4{,}5$ cm de l'axe $(d)$. À quelle distance de $(d)$ se trouve son symétrique $M'$ ?
Voir le corrigé
La symétrie axiale conserve les distances à l'axe : le symétrique est à la même distance, de l'autre côté.
$M'$ est à $4{,}5$ cm de $(d)$, et la distance $MM'$ vaut $9$ cm.
- Exercice 2
Le segment $[AB]$ mesure $6$ cm et l'angle $\widehat{ABC}$ mesure $40°$. Que valent $A'B'$ et $\widehat{A'B'C'}$ après symétrie ?
Voir le corrigé
La symétrie axiale conserve les longueurs et les mesures d'angles.
Donc $A'B' = 6$ cm et $\widehat{A'B'C'} = 40°$.
- Exercice 3
Combien d'axes de symétrie possède un rectangle non carré ? Et un carré ?
Voir le corrigé
Le rectangle a 2 axes : les deux médiatrices de ses côtés. Attention, ses diagonales ne sont pas des axes de symétrie.
Le carré en a 4 : les deux médiatrices des côtés et les deux diagonales.
Questions fréquentes
Qu'est-ce que la symétrie axiale conserve ?
Elle conserve les longueurs, les mesures d'angles, les aires, l'alignement, le parallélisme et le milieu. Une figure et son symétrique sont superposables par pliage : seul le sens est inversé, comme dans un miroir.
Comment vérifier une construction sans plier la feuille ?
On contrôle deux choses sur un ou deux points : la droite qui relie un point à son symétrique doit être perpendiculaire à l'axe, et l'axe doit couper ce segment en son milieu. Autrement dit, l'axe est la médiatrice du segment $[AA']$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Symétrie axiale en Sixième, voici le reste des ressources du site :