Sixième · Fiche méthode 1 sur 12 · Division euclidienne
Comment poser une division euclidienne ?
Poser une division euclidienne, c'est chercher combien de fois le diviseur tient dans le dividende, chiffre après chiffre, de la gauche vers la droite. On s'arrête quand il ne reste plus de chiffre à abaisser : le nombre obtenu en haut est le quotient, ce qui reste en bas est le reste, toujours plus petit que le diviseur.
La méthode en 5 étapes
1Écrire la potence
Le dividende (le nombre qu'on partage) se place à gauche, le diviseur (le nombre de parts) à droite du trait vertical. Le quotient s'écrira sous le diviseur.
2Découper le dividende par la gauche
On prend les premiers chiffres du dividende jusqu'à obtenir un nombre plus grand ou égal au diviseur. C'est sur ce petit nombre qu'on travaille d'abord.
3Chercher combien de fois
On se demande : « combien de fois le diviseur tient-il dans ce nombre ? ». On écrit la réponse au quotient, on multiplie, on pose la soustraction en dessous.
4Abaisser le chiffre suivant
On descend le chiffre suivant du dividende à côté du résultat de la soustraction, et on recommence l'étape 3. Chaque chiffre abaissé donne un chiffre au quotient, même si c'est un zéro.
5S'arrêter et vérifier
Quand tous les chiffres ont été abaissés, ce qui reste en bas est le reste. On vérifie avec l'égalité $\text{dividende} = \text{diviseur} \times \text{quotient} + \text{reste}$, et on contrôle que $\text{reste} < \text{diviseur}$.
Un exemple entièrement résolu
Effectuer la division euclidienne de $743$ par $6$.
$7$ est plus grand que $6$ : on commence par $7$.
Dans $7$, il y a une fois $6$. On écrit $1$ au quotient, et $7-6=1$.
On obtient $14$. Dans $14$, il y a deux fois $6$ car $2\times 6=12$. On écrit $2$ au quotient, et $14-12=2$.
On obtient $23$. Dans $23$, il y a trois fois $6$ car $3\times 6=18$. On écrit $3$ au quotient, et $23-18=5$.
Le quotient est $123$, le reste est $5$. On contrôle : $6\times 123+5=738+5=743$, et $5<6$.
Conclusion. $743 = 6\times 123 + 5$ : le quotient est $123$ et le reste est $5$.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier d'écrire un zéro au quotient quand le diviseur ne tient pas dans le nombre abaissé. Chaque chiffre abaissé donne exactement un chiffre au quotient.
- S'arrêter avec un reste plus grand que le diviseur : c'est le signe qu'on aurait pu mettre une fois de plus au quotient.
- Confondre le quotient et le reste dans la phrase de conclusion. Le quotient est le nombre de parts, le reste est ce qui ne se partage pas.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Effectuer la division euclidienne de $529$ par $4$, puis écrire l'égalité de la division.
Voir le corrigé
Dans $5$, il y a $1$ fois $4$, reste $1$. On abaisse le $2$ : dans $12$, il y a $3$ fois $4$, reste $0$. On abaisse le $9$ : dans $9$, il y a $2$ fois $4$, reste $1$.
Quotient $132$, reste $1$. Égalité : $529 = 4\times 132 + 1$, avec $1<4$.
- Exercice 2
Un fleuriste range $845$ roses par bouquets de $12$. Combien de bouquets complets fait-il ? Combien lui reste-t-il de roses ?
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On divise $845$ par $12$ : dans $84$, il y a $7$ fois $12$ car $7\times 12=84$, reste $0$ ; on abaisse le $5$ : dans $5$, il y a $0$ fois $12$, reste $5$.
$845 = 12\times 70 + 5$. Il fait 70 bouquets complets et il lui reste 5 roses.
- Exercice 3
Dans une division euclidienne par $7$, le quotient est $48$ et le reste est $3$. Quel était le dividende ?
Voir le corrigé
On utilise l'égalité $\text{dividende} = \text{diviseur}\times\text{quotient}+\text{reste}$ : $7\times 48 + 3 = 336+3 = 339$.
Le dividende était $339$. On vérifie que $3<7$ : le reste est bien correct.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre division euclidienne et division décimale ?
Dans une division euclidienne, on s'arrête dès qu'il n'y a plus de chiffre à abaisser : le résultat est un couple d'entiers, quotient et reste. Dans une division décimale, on continue en plaçant une virgule au quotient et en abaissant des zéros. $743\div 6$ donne $123$ reste $5$ en euclidien, et $123{,}83\ldots$ en décimal.
Le reste peut-il être égal à zéro ?
Oui, et cela veut dire que le dividende est divisible par le diviseur. Par exemple $96 = 8\times 12 + 0$ : le reste est nul, donc $96$ est un multiple de $8$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Division euclidienne en Sixième, voici le reste des ressources du site :