Sixième · Fiche méthode 2 sur 12 · Fractions
Comment simplifier une fraction ?
Simplifier une fraction, c'est diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre, ce qui ne change pas sa valeur. On recommence tant qu'on trouve un diviseur commun ; quand il n'y en a plus, la fraction est irréductible.
La méthode en 4 étapes
1Regarder les deux nombres
On observe le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas) et on cherche un nombre qui divise les deux à la fois.
2Utiliser les critères de divisibilité
Les deux sont pairs ? On divise par $2$. Les deux finissent par $0$ ou $5$ ? On divise par $5$. La somme des chiffres est un multiple de $3$ des deux côtés ? On divise par $3$.
3Diviser en haut et en bas
On écrit la nouvelle fraction en divisant les deux nombres par le diviseur trouvé. Diviser seulement l'un des deux changerait complètement la fraction.
4Recommencer
On repart de l'étape 1 avec la nouvelle fraction. On s'arrête quand plus aucun nombre (sauf $1$) ne divise les deux : la fraction est alors irréductible.
Un exemple entièrement résolu
Simplifier la fraction $\dfrac{84}{126}$ le plus possible.
$84$ et $126$ sont tous les deux pairs : on peut diviser par $2$.
$\dfrac{84}{126}=\dfrac{84\div 2}{126\div 2}=\dfrac{42}{63}$
$42$ et $63$ ne sont plus tous les deux pairs. Mais $4+2=6$ et $6+3=9$ sont des multiples de $3$ : on divise par $3$.
$\dfrac{42}{63}=\dfrac{14}{21}$
$14=2\times 7$ et $21=3\times 7$ : le nombre $7$ divise les deux.
$\dfrac{14}{21}=\dfrac{2}{3}$
$2$ et $3$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$ : on ne peut plus simplifier.
Conclusion. $\dfrac{84}{126}=\dfrac{2}{3}$, et cette fraction est irréductible.
Les erreurs à ne pas faire
- Ne diviser que le numérateur (ou que le dénominateur) : $\dfrac{84}{126}$ ne vaut pas $\dfrac{42}{126}$. Ce qu'on fait en haut, on le fait en bas.
- Soustraire le même nombre en haut et en bas au lieu de diviser : $\dfrac{5}{7}$ n'est pas égal à $\dfrac{3}{5}$.
- S'arrêter trop tôt en croyant avoir fini : $\dfrac{14}{21}$ se simplifie encore, même si aucun des deux nombres n'est pair.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Simplifier $\dfrac{45}{60}$.
Voir le corrigé
Les deux finissent par $0$ ou $5$ : on divise par $5$, $\dfrac{45}{60}=\dfrac{9}{12}$. Puis $9$ et $12$ sont des multiples de $3$ : $\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$.
$\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}$, irréductible.
- Exercice 2
Parmi $\dfrac{18}{24}$, $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{27}{36}$, quelles fractions sont égales ?
Voir le corrigé
$\dfrac{18}{24}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$ (division par $2$ puis par $3$) et $\dfrac{27}{36}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$ (division par $3$ puis par $3$).
Les trois fractions sont égales : elles ont la même forme irréductible $\dfrac{3}{4}$.
- Exercice 3
Dans une classe de $30$ élèves, $18$ sont demi-pensionnaires. Écrire la proportion de demi-pensionnaires sous forme de fraction irréductible.
Voir le corrigé
La proportion est $\dfrac{18}{30}$. Les deux sont pairs : $\dfrac{9}{15}$. Les deux sont des multiples de $3$ : $\dfrac{3}{5}$.
Il y a $\dfrac{3}{5}$ de demi-pensionnaires, c'est-à-dire 3 élèves sur 5.
Questions fréquentes
Comment savoir qu'une fraction est irréductible ?
Elle est irréductible quand le seul nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur est $1$. En pratique, on teste $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ : si aucun ne marche pour les deux, c'est terminé. En troisième, on le démontrera d'un coup avec le PGCD.
Peut-on simplifier plus vite ?
Oui, en divisant directement par le plus grand diviseur commun. Pour $\dfrac{84}{126}$, ce diviseur est $42$ et une seule division suffit : $\dfrac{84\div 42}{126\div 42}=\dfrac{2}{3}$. Mais procéder par petites étapes est plus sûr et donne le même résultat.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Fractions en Sixième, voici le reste des ressources du site :