Sixième · Fiche méthode 11 sur 12 · Multiples et diviseurs
Comment savoir si un nombre est divisible par 2, 3, 5 ou 9 ?
On regarde le dernier chiffre pour $2$, $5$ et $10$, et la somme des chiffres pour $3$ et $9$. Ces critères évitent de poser la division : ils répondent en quelques secondes.
La méthode en 5 étapes
1Divisible par 2
Le nombre se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ : il est pair, donc divisible par $2$.
2Divisible par 5 ou par 10
Par $5$ : le dernier chiffre est $0$ ou $5$. Par $10$ : le dernier chiffre est $0$.
3Divisible par 3
On additionne tous les chiffres. Si la somme obtenue est dans la table de $3$, le nombre est divisible par $3$. On peut recommencer sur la somme si elle est encore grande.
4Divisible par 9
Même méthode, mais la somme des chiffres doit être un multiple de $9$. Attention : tout multiple de $9$ est multiple de $3$, l'inverse est faux.
5Divisible par 4
On regarde le nombre formé par les deux derniers chiffres : s'il est divisible par $4$, le nombre entier l'est aussi.
Un exemple entièrement résolu
Le nombre $2\,376$ est-il divisible par $2$ ? par $3$ ? par $5$ ? par $9$ ?
Il se termine par $6$, qui est pair : oui, $2\,376$ est divisible par $2$.
Il ne se termine ni par $0$ ni par $5$ : non.
Somme des chiffres : $2+3+7+6=18$. Or $18=3\times 6$ : oui, il est divisible par $3$.
La somme vaut $18$, et $18=9\times 2$ : oui, il est aussi divisible par $9$.
Conclusion. $2\,376$ est divisible par $2$, par $3$ et par $9$, mais pas par $5$.
Les erreurs à ne pas faire
- Additionner les chiffres pour tester la divisibilité par $2$ ou par $5$ : ces deux critères portent uniquement sur le dernier chiffre.
- Croire qu'un multiple de $3$ est forcément un multiple de $9$ : $12$ est divisible par $3$ mais pas par $9$.
- Confondre « divisible par » et « diviseur de ». $2\,376$ est divisible par $9$ ; $9$ est un diviseur de $2\,376$.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Parmi $135$, $250$, $414$ et $1\,001$, lesquels sont divisibles par $9$ ?
Voir le corrigé
$1+3+5=9$ : oui. $2+5+0=7$ : non. $4+1+4=9$ : oui. $1+0+0+1=2$ : non.
$135$ et $414$ sont divisibles par $9$.
- Exercice 2
Trouver le chiffre $a$ pour que $4\,7a\,2$ soit divisible par $3$, avec plusieurs réponses possibles.
Voir le corrigé
Somme des chiffres : $4+7+a+2 = 13+a$. Il faut que $13+a$ soit un multiple de $3$ : $15$, $18$ ou $21$.
Donc $a=2$, $a=5$ ou $a=8$. Les nombres $4\,722$, $4\,752$ et $4\,782$ conviennent.
- Exercice 3
Peut-on partager $2\,514$ bonbons en $4$ parts égales ? En $6$ parts égales ?
Voir le corrigé
Par $4$ : les deux derniers chiffres forment $14$, qui n'est pas dans la table de $4$. Non.
Par $6$ : il faut être divisible par $2$ et par $3$. Le nombre finit par $4$ donc il est pair ; $2+5+1+4=12$ est un multiple de $3$. Oui, le partage en $6$ parts est possible.
Questions fréquentes
Existe-t-il un critère de divisibilité par 7 ?
Il en existe un, mais il est compliqué et on ne l'utilise pas au collège. Pour $7$ comme pour $11$ ou $13$, le plus simple reste de poser la division et de regarder si le reste est nul.
Comment tester la divisibilité par 6 ou par 15 ?
On combine deux critères. Divisible par $6$ = divisible par $2$ et par $3$. Divisible par $15$ = divisible par $3$ et par $5$. Cela fonctionne parce que ces facteurs n'ont pas de diviseur commun.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Multiples et diviseurs en Sixième, voici le reste des ressources du site :