Quatrième · Fiche méthode 7 sur 12 · Réciproque de Pythagore
Comment montrer qu'un triangle est rectangle ?
On calcule séparément le carré du plus grand côté d'un côté, et la somme des carrés des deux autres de l'autre. Si les deux résultats sont égaux, le triangle est rectangle ; s'ils diffèrent, il ne l'est pas.
La méthode en 5 étapes
1Repérer le plus grand côté
C'est le seul candidat possible au rôle d'hypoténuse. L'angle droit, s'il existe, sera au sommet opposé.
2Calculer le premier membre
On calcule le carré du plus grand côté, par exemple $BC^2$. On l'écrit sur une ligne à part.
3Calculer le second membre
Sur une autre ligne, on calcule $AB^2+AC^2$. Les deux calculs doivent rester séparés : on ne sait pas encore s'ils sont égaux.
4Comparer
Égalité : on conclut par la réciproque du théorème de Pythagore. Inégalité : on conclut par la contraposée, le triangle n'est pas rectangle.
5Rédiger la conclusion
La phrase attendue nomme le théorème et le sommet : « comme $BC^2 = AB^2+AC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ».
Un exemple entièrement résolu
Un triangle $ABC$ a pour côtés $AB = 4{,}5$ cm, $AC = 6$ cm et $BC = 7{,}5$ cm. Est-il rectangle ?
Le plus grand côté est $[BC]$ avec $7{,}5$ cm : si le triangle est rectangle, ce sera en $A$.
$BC^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25$
$AB^2+AC^2 = 4{,}5^2+6^2 = 20{,}25+36 = 56{,}25$
Les deux résultats sont égaux : $BC^2 = AB^2+AC^2$.
Conclusion. Comme $BC^2 = AB^2+AC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Les erreurs à ne pas faire
- Écrire dès le départ « $BC^2 = AB^2+AC^2$ » : ce serait supposer ce qu'on cherche à démontrer. Les deux membres se calculent séparément.
- Choisir le mauvais côté comme hypoténuse : ce doit être le plus grand.
- Conclure « le triangle est rectangle » sans préciser en quel sommet.
- Se contenter d'une mesure à l'équerre sur la figure : une figure n'est jamais une démonstration.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Le triangle $RST$ a pour côtés $RS = 8$ cm, $ST = 15$ cm et $RT = 17$ cm. Est-il rectangle ?
Voir le corrigé
Plus grand côté : $[RT]$. D'une part $RT^2 = 17^2 = 289$. D'autre part $RS^2+ST^2 = 64+225 = 289$.
Les résultats sont égaux, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $RST$ est rectangle en $S$.
- Exercice 2
Un triangle a pour côtés $5$ cm, $7$ cm et $9$ cm. Est-il rectangle ?
Voir le corrigé
Plus grand côté : $9$ cm. D'une part $9^2 = 81$. D'autre part $5^2+7^2 = 25+49 = 74$.
$81\neq 74$, donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore, ce triangle n'est pas rectangle.
- Exercice 3
Un menuisier vérifie qu'un angle de plan de travail est droit : il mesure $60$ cm sur un bord, $80$ cm sur l'autre, et trouve $102$ cm entre les deux repères. L'angle est-il droit ?
Voir le corrigé
D'une part $102^2 = 10\,404$. D'autre part $60^2+80^2 = 3\,600+6\,400 = 10\,000$.
$10\,404 \neq 10\,000$ : l'angle n'est pas droit. Il aurait fallu mesurer $100$ cm.
Questions fréquentes
Quelle différence entre le théorème et sa réciproque ?
Le théorème part d'un triangle déjà rectangle et sert à calculer une longueur. La réciproque part de trois longueurs connues et sert à prouver que le triangle est rectangle. On ne les utilise donc jamais dans la même situation.
Comment rédiger correctement cette démonstration ?
En trois temps, toujours les mêmes : « D'une part, $BC^2 = \ldots$ » ; « D'autre part, $AB^2+AC^2 = \ldots$ » ; « Comme ces deux résultats sont égaux, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en $A$. » Cette structure vaut des points au brevet, même si le calcul est simple.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Réciproque de Pythagore en Quatrième, voici le reste des ressources du site :