Quatrième · Fiche méthode 12 sur 12 · Probabilités
Comment calculer une probabilité ?
Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement vaut $\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$. Le résultat est toujours compris entre $0$ et $1$.
La méthode en 5 étapes
1Lister les issues possibles
On décrit l'expérience et on compte toutes les issues : $6$ faces pour un dé, $52$ cartes pour un jeu, le nombre total de boules dans une urne.
2Vérifier l'équiprobabilité
La formule suppose que toutes les issues ont la même chance. C'est le cas d'un dé équilibré ou d'un tirage au hasard, pas d'un dé pipé.
3Compter les issues favorables
On compte celles qui réalisent l'événement demandé.
4Écrire le quotient et simplifier
$P(\text{A}) = \dfrac{\text{favorables}}{\text{possibles}}$, sous forme de fraction irréductible, de décimal ou de pourcentage.
5Penser à l'événement contraire
Quand l'événement est du type « au moins un », il est souvent plus rapide de calculer son contraire : $P(\overline{A}) = 1-P(A)$.
Un exemple entièrement résolu
Une urne contient $5$ boules rouges, $3$ boules vertes et $2$ boules bleues, indiscernables au toucher. On en tire une au hasard. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ? Une boule qui ne soit pas rouge ?
$5+3+2 = 10$ boules : il y a $10$ issues, toutes équiprobables car les boules sont indiscernables.
$3$ issues favorables, donc $P(\text{verte}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$.
$P(\text{rouge}) = \dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$, donc $P(\text{pas rouge}) = 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
Vérification directe : $3+2 = 5$ boules non rouges sur $10$, soit $\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$. Les deux méthodes concordent.
Conclusion. $P(\text{verte}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$ et $P(\text{pas rouge}) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$.
Les erreurs à ne pas faire
- Mettre le nombre d'issues favorables au dénominateur : le total est toujours en bas.
- Trouver une probabilité supérieure à $1$ ou négative : c'est impossible, et cela signale une erreur de comptage.
- Oublier une catégorie d'issues dans le total.
- Croire qu'après cinq « pile », « face » devient plus probable : chaque lancer est indépendant.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ? Un nombre supérieur ou égal à $5$ ?
Voir le corrigé
Issues possibles : $6$. Nombres pairs : $2$, $4$, $6$, soit $3$ issues favorables, donc $P = \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
Nombres supérieurs ou égaux à $5$ : $5$ et $6$, donc $P = \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
- Exercice 2
Dans un jeu de $32$ cartes, on tire une carte au hasard. Quelle est la probabilité d'obtenir un cœur ? Un roi ?
Voir le corrigé
Il y a $8$ cœurs sur $32$ cartes : $P(\text{cœur}) = \dfrac{8}{32}=\dfrac{1}{4}$.
Il y a $4$ rois : $P(\text{roi}) = \dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$.
- Exercice 3
Une roue comporte $12$ secteurs identiques numérotés de $1$ à $12$. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ ? Et de ne pas en obtenir ?
Voir le corrigé
Multiples de $3$ : $3$, $6$, $9$, $12$, soit $4$ issues favorables. $P = \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
Événement contraire : $P = 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.
Questions fréquentes
Que signifie une probabilité de 0 ou de 1 ?
Une probabilité de $0$ désigne un événement impossible (obtenir un $7$ avec un dé à six faces), une probabilité de $1$ un événement certain (obtenir un nombre inférieur à $10$). Toutes les autres probabilités se situent entre ces deux bornes.
Quel rapport entre probabilité et fréquence ?
Si on répète l'expérience un très grand nombre de fois, la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique : c'est la loi des grands nombres. Sur $20$ lancers de dé, obtenir cinq fois le $6$ n'a rien d'anormal ; sur $10\,000$ lancers, la fréquence sera très proche de $\dfrac{1}{6}$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Probabilités en Quatrième, voici le reste des ressources du site :