Quatrième · Fiche méthode 10 sur 12 · Proportionnalité
Comment calculer une quatrième proportionnelle ?
Quand trois valeurs d'un tableau de proportionnalité sont connues, on trouve la quatrième par le produit en croix : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{x}$ donne $x = \dfrac{b\times c}{a}$. Le passage par l'unité conduit au même résultat.
La méthode en 5 étapes
1Construire le tableau
Deux lignes, avec les mêmes grandeurs dans chaque ligne. C'est l'étape qui évite la plupart des erreurs : chaque colonne doit associer deux valeurs qui vont ensemble.
2Placer l'inconnue
On note $x$ la case cherchée et on repère les trois valeurs connues.
3Écrire l'égalité des rapports
On écrit l'égalité de deux fractions en gardant le même sens de lecture pour les deux colonnes.
4Appliquer le produit en croix
On multiplie les deux nombres en diagonale de l'inconnue, puis on divise par le troisième.
5Vérifier l'ordre de grandeur
Si la quantité augmente, le prix doit augmenter dans la même proportion. Un résultat incohérent signale une colonne mal remplie.
Un exemple entièrement résolu
$7$ kg de pommes coûtent $16{,}80$ €. Combien coûtent $11$ kg ?
Masse : $7$ et $11$. Prix : $16{,}80$ et $x$.
$\dfrac{16{,}80}{7}=\dfrac{x}{11}$
$7x = 16{,}80\times 11 = 184{,}80$, donc $x = \dfrac{184{,}80}{7} = 26{,}40$.
Par l'unité : $1$ kg coûte $16{,}80\div 7 = 2{,}40$ €, donc $11$ kg coûtent $11\times 2{,}40 = 26{,}40$ €. Même résultat.
Conclusion. $11$ kg de pommes coûtent $26{,}40$ €.
Les erreurs à ne pas faire
- Croiser les mauvaises valeurs : on multiplie les deux nombres opposés à l'inconnue, et on divise par celui qui est en face d'elle.
- Mélanger les unités dans une même ligne : des heures d'un côté, des minutes de l'autre.
- Appliquer la proportionnalité à une situation qui n'en est pas une (frais fixes, tarif dégressif, âge et taille).
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Une voiture consomme $6{,}5$ L aux $100$ km. Quelle quantité consomme-t-elle sur $250$ km ?
Voir le corrigé
$\dfrac{6{,}5}{100}=\dfrac{x}{250}$, donc $x = \dfrac{6{,}5\times 250}{100}=16{,}25$.
Elle consomme $16{,}25$ L.
- Exercice 2
Sur une carte à l'échelle $1/25\,000$, deux villages sont distants de $8$ cm. Quelle est la distance réelle en km ?
Voir le corrigé
L'échelle signifie que $1$ cm sur la carte représente $25\,000$ cm en réalité.
$8\times 25\,000 = 200\,000$ cm $= 2\,000$ m $= 2$ km.
- Exercice 3
Un robinet remplit $45$ L en $6$ minutes. Combien de temps faut-il pour remplir une cuve de $300$ L ?
Voir le corrigé
$\dfrac{6}{45}=\dfrac{t}{300}$, donc $t = \dfrac{6\times 300}{45}=\dfrac{1800}{45}=40$.
Il faut $40$ minutes.
Questions fréquentes
Produit en croix ou passage par l'unité ?
Les deux donnent le même résultat. Le passage par l'unité est plus parlant quand la division tombe juste (prix au kilo, vitesse en km/h) ; le produit en croix est plus sûr quand les nombres sont compliqués, car il évite un arrondi intermédiaire.
Comment savoir si la situation est proportionnelle ?
On se demande si doubler la première grandeur double la seconde. C'est vrai pour un prix au kilo, faux pour un abonnement avec frais d'inscription. Quand un énoncé parle de « tarif fixe » ou de « forfait », la proportionnalité est presque toujours rompue.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Proportionnalité en Quatrième, voici le reste des ressources du site :