Quatrième · Fiche méthode 1 sur 12 · Puissances
Comment calculer avec des puissances ?
Trois règles suffisent : $a^m\times a^n = a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $(a^m)^n = a^{m\times n}$. Elles ne s'appliquent qu'entre puissances de même base. Un exposant négatif signifie l'inverse : $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.
La méthode en 5 étapes
1Vérifier que les bases sont identiques
Les règles ne fonctionnent qu'entre puissances d'un même nombre. $2^3\times 5^3$ ne se simplifie pas avec ces formules ; on l'écrira plutôt $(2\times 5)^3$.
2Produit : on additionne les exposants
$a^m\times a^n = a^{m+n}$. Par exemple $10^4\times 10^{-6}=10^{-2}$.
3Quotient : on soustrait les exposants
$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$. Par exemple $\dfrac{3^7}{3^5}=3^2 = 9$.
4Puissance de puissance : on multiplie
$(a^m)^n = a^{m\times n}$. Par exemple $(10^3)^4 = 10^{12}$.
5Conclure sous la forme demandée
Selon l'énoncé, on laisse la puissance, on donne l'écriture décimale, ou on met en notation scientifique.
Un exemple entièrement résolu
Écrire sous la forme d'une seule puissance : $A = \dfrac{10^5\times 10^{-3}}{10^{-4}}$ et $B = (2^3)^2\times 2^{-4}$.
$10^5\times 10^{-3} = 10^{5+(-3)} = 10^2$.
$A = \dfrac{10^2}{10^{-4}} = 10^{2-(-4)} = 10^{6}$.
$(2^3)^2 = 2^{3\times 2} = 2^6$.
$B = 2^6\times 2^{-4} = 2^{6-4} = 2^2 = 4$.
Conclusion. $A = 10^6 = 1\,000\,000$ et $B = 2^2 = 4$.
Les erreurs à ne pas faire
- Multiplier les exposants dans un produit : $10^3\times 10^4$ vaut $10^7$, pas $10^{12}$.
- Appliquer les règles à des bases différentes : $2^3\times 3^2$ ne vaut ni $6^5$ ni $6^6$.
- Croire que $a^{-n}$ est négatif : $10^{-3}=\dfrac{1}{1000}=0{,}001$, un nombre positif.
- Oublier que $a^0 = 1$ pour tout $a$ non nul.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Écrire sous forme d'une seule puissance : $5^4\times 5^3$ ; $\dfrac{7^9}{7^6}$ ; $(10^2)^5$.
Voir le corrigé
$5^4\times 5^3 = 5^7$.
$\dfrac{7^9}{7^6}=7^3 = 343$.
$(10^2)^5 = 10^{10}$.
- Exercice 2
Calculer $C = \dfrac{10^{-2}\times 10^{6}}{10^{3}}$ et donner son écriture décimale.
Voir le corrigé
Numérateur : $10^{-2+6}=10^4$. Puis $\dfrac{10^4}{10^3}=10^{4-3}=10^1$.
$C = 10$.
- Exercice 3
Écrire $D = \dfrac{3^5\times 3^{-2}}{3^4}$ sous forme d'une puissance, puis d'une fraction.
Voir le corrigé
Numérateur : $3^{5-2}=3^3$. Puis $\dfrac{3^3}{3^4}=3^{-1}$.
$D = 3^{-1}=\dfrac{1}{3}$.
Questions fréquentes
Que vaut une puissance de 10 ?
$10^n$ s'écrit $1$ suivi de $n$ zéros : $10^6 = 1\,000\,000$. Et $10^{-n}$ s'écrit $0{,}0\ldots 01$ avec $n$ chiffres après la virgule : $10^{-3}=0{,}001$. C'est le socle de la notation scientifique.
Comment gérer $(-2)^4$ et $-2^4$ ?
Ce ne sont pas les mêmes nombres. $(-2)^4$ signifie $(-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2) = 16$ : l'exposant pair rend le résultat positif. En revanche $-2^4$ signifie $-(2^4) = -16$, car sans parenthèses l'exposant ne porte que sur le $2$.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Puissances en Quatrième, voici le reste des ressources du site :