Quatrième · Fiche méthode 5 sur 12 · Équations
Comment résoudre une équation du premier degré ?
On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre, en effectuant la même opération dans les deux membres. On termine en divisant par le coefficient de $x$, puis on vérifie la solution dans l'équation de départ.
La méthode en 5 étapes
1Développer si nécessaire
S'il y a des parenthèses, on commence par développer et réduire chaque membre.
2Regrouper les x d'un côté
On soustrait ou on ajoute un même terme aux deux membres pour rassembler les $x$ à gauche.
3Regrouper les nombres de l'autre
Même principe : les constantes passent à droite, toujours en agissant sur les deux membres.
4Diviser par le coefficient
On obtient $ax = b$, puis $x = \dfrac{b}{a}$. On garde la fraction si le quotient ne tombe pas juste.
5Vérifier
On remplace $x$ par la valeur trouvée dans l'équation de départ : les deux membres doivent donner le même nombre.
Un exemple entièrement résolu
Résoudre $5x-3 = 2x+9$.
On soustrait $2x$ aux deux membres : $5x-2x-3 = 9$, donc $3x-3 = 9$.
On ajoute $3$ aux deux membres : $3x = 12$.
On divise les deux membres par $3$ : $x = \dfrac{12}{3} = 4$.
Membre de gauche : $5\times 4-3 = 17$. Membre de droite : $2\times 4+9 = 17$. Égalité vérifiée.
Conclusion. L'équation a une unique solution : $x = 4$.
Les erreurs à ne pas faire
- N'effectuer l'opération que d'un seul côté : ce qu'on fait à gauche, on le fait à droite.
- Oublier de changer le signe d'un terme qui change de membre : $-3$ à gauche devient $+3$ à droite.
- Diviser par le mauvais nombre : on divise par le coefficient de $x$, pas par la constante.
- Sauter la vérification, qui repère à coup sûr une erreur de signe.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Résoudre $4x+7 = 19$.
Voir le corrigé
$4x = 19-7 = 12$, donc $x = \dfrac{12}{4} = 3$.
Vérification : $4\times 3+7 = 19$. La solution est $x = 3$.
- Exercice 2
Résoudre $3(x-2) = 5x+4$.
Voir le corrigé
On développe : $3x-6 = 5x+4$. On soustrait $5x$ : $-2x-6 = 4$. On ajoute $6$ : $-2x = 10$. On divise par $-2$ : $x = -5$.
Vérification : $3\times(-7) = -21$ et $5\times(-5)+4 = -21$. La solution est $x = -5$.
- Exercice 3
Le périmètre d'un rectangle est de $54$ cm. Sa longueur mesure $5$ cm de plus que sa largeur. Quelles sont ses dimensions ?
Voir le corrigé
On pose $x$ la largeur, la longueur vaut $x+5$. Le périmètre s'écrit $2(x+x+5) = 54$, soit $2(2x+5) = 54$.
On développe : $4x+10 = 54$, donc $4x = 44$ et $x = 11$.
La largeur mesure $11$ cm et la longueur $16$ cm. Vérification : $2\times(11+16) = 54$ cm.
Questions fréquentes
Une équation peut-elle avoir plusieurs solutions ou aucune ?
Une équation du premier degré $ax+b = 0$ avec $a\neq 0$ a exactement une solution. Si les $x$ disparaissent, deux cas : on obtient une égalité fausse comme $3 = 5$, il n'y a alors aucune solution ; ou une égalité vraie comme $4 = 4$, et tous les nombres sont solutions.
Comment mettre un problème en équation ?
On choisit l'inconnue en la nommant précisément (« soit $x$ la largeur en cm »), on exprime toutes les autres grandeurs en fonction de $x$, puis on traduit la phrase qui donne une égalité. La résolution vient après : c'est la mise en équation qui demande le plus d'attention.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Équations en Quatrième, voici le reste des ressources du site :