Quatrième · Fiche méthode 4 sur 12 · Calcul littéral
Comment factoriser avec un facteur commun ?
Factoriser, c'est transformer une somme en produit. On repère le facteur présent dans tous les termes, on l'écrit devant une parenthèse, et on met à l'intérieur ce qui reste de chaque terme : $ka+kb = k(a+b)$.
La méthode en 5 étapes
1Repérer le facteur commun
On cherche ce qui apparaît dans chaque terme : un nombre, une lettre, ou une parenthèse entière.
2Écrire le facteur devant une parenthèse
On pose $k(\ldots)$ et on garde la parenthèse ouverte le temps de la remplir.
3Chercher ce qui reste
Pour chaque terme, on se demande : « par quoi dois-je multiplier le facteur commun pour retrouver ce terme ? ». La réponse va dans la parenthèse, avec son signe.
4Attention au terme qui disparaît
Si un terme est le facteur commun, il reste $1$ dans la parenthèse, et non rien : $5x+5 = 5(x+1)$.
5Vérifier en développant
On redéveloppe le résultat : on doit retomber exactement sur l'expression de départ.
Un exemple entièrement résolu
Factoriser $B = 12x^2+18x$ et $C = (x+2)(3x-1)+(x+2)(x+5)$.
Nombres : $12$ et $18$ ont $6$ en commun. Lettres : $x^2$ et $x$ ont $x$ en commun. Le facteur commun est $6x$.
$12x^2 = 6x\times 2x$ et $18x = 6x\times 3$.
$B = 6x(2x+3)$
Ici le facteur commun est une parenthèse entière : $(x+2)$.
$C = (x+2)\big[(3x-1)+(x+5)\big] = (x+2)(4x+4)$, soit après factorisation par $4$ : $C = 4(x+2)(x+1)$.
Conclusion. $B = 6x(2x+3)$ et $C = 4(x+2)(x+1)$.
Les erreurs à ne pas faire
- Oublier le $1$ : $7x+7$ se factorise en $7(x+1)$, pas en $7(x)$.
- Ne prendre qu'une partie du facteur commun : $12x^2+18x = 6(2x^2+3x)$ est exact mais incomplet, on peut encore sortir $x$.
- Changer l'expression en factorisant : le contrôle par développement est indispensable.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Factoriser : $5x+15$ ; $x^2-7x$ ; $9a^2+12a$.
Voir le corrigé
$5x+15 = 5(x+3)$.
$x^2-7x = x(x-7)$.
$9a^2+12a = 3a(3a+4)$.
- Exercice 2
Factoriser $D = (2x-1)(x+4)-(2x-1)(3x-2)$.
Voir le corrigé
Facteur commun : $(2x-1)$.
$D = (2x-1)\big[(x+4)-(3x-2)\big] = (2x-1)(x+4-3x+2) = (2x-1)(-2x+6)$.
On peut aussi écrire $D = -2(2x-1)(x-3)$.
- Exercice 3
Factoriser $E = 4x(x+3)+7(x+3)$, puis calculer $E$ pour $x = -3$.
Voir le corrigé
Facteur commun : $(x+3)$, donc $E = (x+3)(4x+7)$.
Pour $x = -3$ : le premier facteur vaut $0$, donc $E = 0$. La forme factorisée donne la réponse immédiatement.
Questions fréquentes
À quoi sert de factoriser ?
À calculer plus vite (un produit se calcule mentalement là où une somme demande plusieurs étapes) et surtout à résoudre des équations. Un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul : c'est l'outil central de la troisième pour les équations produit.
Comment savoir si une expression est factorisable ?
On regarde si tous les termes partagent quelque chose : un nombre, une lettre, une parenthèse. S'il n'y a rien de commun, comme dans $x^2+5$, l'expression n'est pas factorisable avec les outils de quatrième. En troisième, les identités remarquables élargiront les possibilités.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Calcul littéral en Quatrième, voici le reste des ressources du site :