Quatrième · Fiche méthode 9 sur 12 · Trigonométrie
Comment calculer une longueur avec le cosinus ?
Dans un triangle rectangle, $\cos(\widehat{\text{angle}}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$. Selon ce qu'on cherche, on isole le côté adjacent, l'hypoténuse, ou on utilise la touche $\cos^{-1}$ pour retrouver l'angle.
La méthode en 5 étapes
1Repérer l'angle de travail
Ce n'est jamais l'angle droit. C'est l'angle donné ou cherché ; toute la suite se lit par rapport à lui.
2Nommer les trois côtés
L'hypoténuse est en face de l'angle droit. Le côté adjacent à l'angle est celui qui le touche sans être l'hypoténuse. Le troisième est le côté opposé.
3Écrire la formule
$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, avec les noms de la figure.
4Isoler l'inconnue
Adjacent cherché : adjacent $=$ hypoténuse $\times\cos$. Hypoténuse cherchée : hypoténuse $= \dfrac{\text{adjacent}}{\cos}$.
5Calculer en mode degré
La calculatrice doit afficher DEG (ou D). En mode RAD, tous les résultats sont faux.
Un exemple entièrement résolu
Un triangle $ABC$ est rectangle en $B$, avec $\widehat{A} = 35°$ et $AC = 10$ cm. Calculer $AB$, arrondi au dixième.
L'angle de travail est $\widehat{A}$. L'hypoténuse est $[AC]$ (opposée à l'angle droit en $B$). Le côté adjacent à $\widehat{A}$ est $[AB]$.
$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AB}{AC}$, soit $\cos(35°) = \dfrac{AB}{10}$.
$AB = 10\times\cos(35°)$.
$\cos(35°)\approx 0{,}819$, donc $AB \approx 8{,}19$ cm.
Conclusion. $AB \approx 8{,}2$ cm. Contrôle : $AB$ doit être plus petit que l'hypoténuse $AC = 10$ cm.
Les erreurs à ne pas faire
- Calculatrice en radians : $\cos(35)$ y vaut environ $-0{,}90$, ce qui donne une longueur négative, signe d'un mauvais mode.
- Confondre côté adjacent et côté opposé : l'adjacent touche l'angle de travail.
- Prendre l'angle droit comme angle de travail : son cosinus vaut $0$ et ne sert à rien ici.
- Trouver un cosinus supérieur à $1$ : c'est impossible, le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Un triangle $DEF$ est rectangle en $E$, $\widehat{D} = 52°$ et $DE = 6$ cm. Calculer $DF$, arrondi au dixième.
Voir le corrigé
$[DF]$ est l'hypoténuse, $[DE]$ le côté adjacent à $\widehat{D}$ : $\cos(52°) = \dfrac{6}{DF}$.
$DF = \dfrac{6}{\cos(52°)}\approx\dfrac{6}{0{,}6157}\approx 9{,}7$ cm.
- Exercice 2
Dans un triangle rectangle en $H$, $GH = 5$ cm et $GI = 8$ cm ($[GI]$ hypoténuse). Calculer l'angle $\widehat{G}$ arrondi au degré.
Voir le corrigé
$\cos(\widehat{G}) = \dfrac{GH}{GI}=\dfrac{5}{8}=0{,}625$.
Avec la touche $\cos^{-1}$ : $\widehat{G}\approx 51{,}3°$, soit $51°$ au degré près.
- Exercice 3
Une rampe d'accès fait un angle de $6°$ avec le sol et sa longueur au sol est de $12$ m. Quelle est la longueur de la rampe ?
Voir le corrigé
La longueur au sol est le côté adjacent, la rampe est l'hypoténuse : $\cos(6°) = \dfrac{12}{L}$.
$L = \dfrac{12}{\cos(6°)}\approx\dfrac{12}{0{,}9945}\approx 12{,}07$ m.
La rampe mesure environ $12{,}1$ m.
Questions fréquentes
Comment savoir si on doit utiliser cosinus, sinus ou tangente ?
On regarde les trois longueurs concernées. Adjacent et hypoténuse : cosinus. Opposé et hypoténuse : sinus. Opposé et adjacent : tangente. Le moyen mnémotechnique CAH – SOH – TOA résume les trois. En quatrième, seul le cosinus est au programme ; le sinus et la tangente arrivent en troisième.
Comment retrouver un angle à partir de son cosinus ?
On utilise la touche $\cos^{-1}$ (parfois notée arccos, accessible avec la touche seconde). Si $\cos(\widehat{A}) = 0{,}625$, alors $\widehat{A} = \cos^{-1}(0{,}625)\approx 51{,}3°$. Cette touche ne fonctionne que pour un nombre compris entre $0$ et $1$ dans un triangle rectangle.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Trigonométrie en Quatrième, voici le reste des ressources du site :