Homothétie : définition
Au programme de 3e
Définition
L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ transforme chaque point $M$ en un point $M'$ aligné avec $O$ et $M$, tel que $\overrightarrow{OM'} = k\,\overrightarrow{OM}$.
En clair
C'est un zoom : la figure est agrandie ou réduite à partir d'un point fixe, en gardant exactement la même forme.
Ce qu'il faut retenir
- Si $k > 1$, la figure est agrandie ; si $0 < k < 1$, elle est réduite.
- Si $k < 0$, l'image est de l'autre côté du centre : la figure est aussi retournée.
- Si $k = 1$, rien ne bouge ; si $k = -1$, l'homothétie est la symétrie centrale de centre $O$.
- Les longueurs sont multipliées par $|k|$, les aires par $k^2$ et les volumes par $|k|^3$.
- Les angles sont conservés : la figure image est semblable à la figure de départ.
Exemple
Une homothétie de rapport 3 transforme un triangle d'aire 5 cm² en un triangle d'aire $5 \times 3^2 = 45$ cm².
À ne pas confondre avec
- Agrandissement et réduction — l'agrandissement-réduction est l'effet produit par l'homothétie.
- Translation — la translation ne change pas la taille de la figure.
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Termes liés
Agrandissement et réduction Triangles semblables Théorème de Thalès Translation Rotation Échelle Côté opposé Réciproque du théorème de Thalès Sinus Tangente à un cercle
Questions fréquentes sur « homothétie »
Qu'est-ce qu'une homothétie de rapport négatif ?
Une homothétie qui, en plus d'agrandir ou de réduire, envoie l'image de l'autre côté du centre : elle combine un zoom et un demi-tour.
Comment varient les aires dans une homothétie ?
Elles sont multipliées par $k^2$, où $k$ est le rapport de l'homothétie.