Équation cartésienne d'un plan : définition
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Définition
Une équation cartésienne d'un plan est une relation de la forme $ax + by + cz + d = 0$, vérifiée exactement par les points de ce plan.
En clair
C'est la « carte d'identité » du plan dans un repère de l'espace.
Ce qu'il faut retenir
- $\vec n(a\,;\,b\,;\,c)$ est un vecteur normal au plan.
- Pour trouver $d$, on remplace les coordonnées d'un point connu du plan.
- Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
- Un point appartient au plan si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation.
- La distance d'un point $A$ au plan vaut $\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.
Exemple
Plan passant par $A(1\,;\,2\,;\,0)$ de vecteur normal $\vec n(3\,;\,-1\,;\,2)$ : $3x - y + 2z + d = 0$ avec $3-2+0+d=0$, donc $d = -1$.
À ne pas confondre avec
- Équation cartésienne — dans le plan, cette même écriture décrit une droite.
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Questions fréquentes sur « équation cartésienne d'un plan »
Comment trouver l'équation d'un plan ?
On utilise un vecteur normal $\vec n(a\,;\,b\,;\,c)$ pour écrire $ax+by+cz+d=0$, puis on détermine $d$ avec un point du plan.