Troisième · Fiche méthode 3 sur 12 · Équations
Comment résoudre une équation produit nul ?
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. On ramène donc l'équation à la forme « produit $= 0$ » en factorisant, puis on résout chaque facteur séparément.
La méthode en 5 étapes
1Tout ramener à zéro
Si l'équation n'est pas déjà de la forme « quelque chose $= 0$ », on fait passer tous les termes d'un même côté.
2Factoriser
Facteur commun ou identité remarquable : l'objectif est d'obtenir un produit de facteurs.
3Appliquer la règle du produit nul
$(A)\times(B) = 0$ équivaut à $A = 0$ ou $B = 0$. On écrit ce « ou », qui fait partie de la rédaction.
4Résoudre chaque équation
Chaque facteur donne une équation du premier degré, qu'on résout comme d'habitude.
5Conclure et vérifier
On énonce l'ensemble des solutions, puis on vérifie chacune dans l'équation de départ.
Un exemple entièrement résolu
Résoudre $(2x-6)(x+4) = 0$, puis $x^2-5x = 0$.
Le produit est déjà factorisé et égal à zéro : $2x-6 = 0$ ou $x+4 = 0$.
$2x = 6$ donne $x = 3$ ; $x = -4$ pour le second facteur.
On factorise : $x^2-5x = x(x-5)$, donc $x(x-5) = 0$.
$x = 0$ ou $x-5 = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 5$.
Conclusion. La première équation a pour solutions $3$ et $-4$ ; la seconde a pour solutions $0$ et $5$.
Les erreurs à ne pas faire
- Diviser par $x$ dans $x^2 = 5x$ : on perd la solution $x = 0$. Il faut factoriser, jamais diviser par une expression contenant l'inconnue.
- Développer une équation déjà factorisée : c'est faire le chemin à l'envers.
- Écrire « et » à la place de « ou » : les solutions ne doivent pas annuler les deux facteurs en même temps.
- Croire que $(A)(B) = 12$ implique $A = 12$ ou $B = 12$ : la règle ne fonctionne qu'avec zéro.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Résoudre $(x-7)(3x+1) = 0$.
Voir le corrigé
$x-7 = 0$ ou $3x+1 = 0$.
Donc $x = 7$ ou $x = -\dfrac{1}{3}$.
- Exercice 2
Résoudre $x^2-49 = 0$.
Voir le corrigé
On factorise avec l'identité $a^2-b^2$ : $(x-7)(x+7) = 0$.
Donc $x = 7$ ou $x = -7$.
- Exercice 3
Résoudre $(3x-2)^2-(x+5)^2 = 0$.
Voir le corrigé
Différence de carrés : $\big[(3x-2)-(x+5)\big]\big[(3x-2)+(x+5)\big] = 0$, soit $(2x-7)(4x+3) = 0$.
$2x-7 = 0$ donne $x = \dfrac{7}{2}$ ; $4x+3 = 0$ donne $x = -\dfrac{3}{4}$.
Questions fréquentes
Pourquoi la règle du produit nul fonctionne-t-elle ?
Parce que multiplier deux nombres non nuls donne toujours un résultat non nul. Si le produit vaut $0$, c'est donc forcément qu'au moins un facteur vaut $0$. Cette propriété est propre à zéro : aucun autre nombre ne se comporte ainsi.
Combien de solutions peut-on obtenir ?
Autant que de facteurs, au maximum. Deux facteurs donnent au plus deux solutions, parfois une seule si les deux facteurs s'annulent pour la même valeur, comme dans $(x-3)^2 = 0$ qui n'a que $x = 3$ pour solution.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Équations en Troisième, voici le reste des ressources du site :