Troisième · Fiche méthode 10 sur 12 · Statistiques
Comment calculer une médiane et une étendue ?
La médiane partage la série rangée en deux moitiés de même effectif : elle se lit au milieu si l'effectif est impair, et se calcule comme la moyenne des deux valeurs centrales s'il est pair. L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
La méthode en 5 étapes
1Ranger les valeurs
Dans l'ordre croissant, sans en oublier et en gardant les répétitions. C'est l'étape qui décide de tout.
2Compter l'effectif total
On note $N$ le nombre de valeurs, en comptant chaque répétition.
3Effectif impair : la valeur du milieu
La médiane est la valeur de rang $\dfrac{N+1}{2}$. Pour $N = 9$, c'est la cinquième valeur.
4Effectif pair : la moyenne des deux centrales
Pour $N = 10$, on prend la demi-somme des cinquième et sixième valeurs.
5Calculer l'étendue
$\text{étendue} = \text{valeur maximale}-\text{valeur minimale}$. Elle mesure la dispersion, pas la position.
Un exemple entièrement résolu
Voici les notes d'un élève : $12$ ; $8$ ; $15$ ; $9$ ; $14$ ; $11$ ; $16$. Calculer la médiane, l'étendue et la moyenne.
$8$ ; $9$ ; $11$ ; $12$ ; $14$ ; $15$ ; $16$.
$N = 7$, effectif impair. La médiane est la $\dfrac{7+1}{2} = 4^{\text{e}}$ valeur, soit $12$.
$16-8 = 8$.
$\dfrac{8+9+11+12+14+15+16}{7}=\dfrac{85}{7}\approx 12{,}1$.
Conclusion. Médiane $= 12$, étendue $= 8$, moyenne $\approx 12{,}1$ : la moitié des notes est inférieure à $12$, et l'écart entre les extrêmes est de $8$ points.
Les erreurs à ne pas faire
- Chercher la médiane sans avoir rangé la série : c'est l'erreur la plus fréquente.
- Oublier les valeurs répétées dans le comptage de l'effectif.
- Confondre médiane et moyenne : la médiane partage l'effectif, la moyenne équilibre les valeurs.
- Confondre étendue et écart à la moyenne : l'étendue ne dépend que des deux valeurs extrêmes.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Calculer la médiane et l'étendue de la série : $5$ ; $12$ ; $7$ ; $9$ ; $3$ ; $12$.
Voir le corrigé
Rangement : $3$ ; $5$ ; $7$ ; $9$ ; $12$ ; $12$. Effectif pair ($N = 6$) : médiane $= \dfrac{7+9}{2} = 8$.
Étendue $= 12-3 = 9$.
- Exercice 2
Dans une classe, les tailles en cm sont : $3$ élèves à $155$, $6$ à $160$, $8$ à $165$, $3$ à $170$. Calculer la médiane.
Voir le corrigé
Effectif total : $3+6+8+3 = 20$. La médiane est la moyenne des $10^{\text{e}}$ et $11^{\text{e}}$ valeurs.
Les rangs $1$ à $3$ valent $155$, les rangs $4$ à $9$ valent $160$, les rangs $10$ à $17$ valent $165$. Les deux valeurs centrales valent donc $165$, et la médiane est $165$ cm.
- Exercice 3
Deux séries ont la même moyenne de $10$ : la première est $9$ ; $10$ ; $11$, la seconde $0$ ; $10$ ; $20$. Que peut-on dire de leurs étendues ?
Voir le corrigé
Première étendue : $11-9 = 2$. Seconde étendue : $20-0 = 20$.
Deux séries de même moyenne peuvent être très différentes : l'étendue mesure cette dispersion que la moyenne ne montre pas.
Questions fréquentes
Médiane ou moyenne, laquelle choisir ?
La médiane résiste aux valeurs extrêmes, la moyenne non. Sur les salaires d'une entreprise où un seul dirigeant gagne très gros, la moyenne est tirée vers le haut alors que la médiane décrit mieux le salarié typique. En statistique, on donne souvent les deux.
Que sont les quartiles ?
Ce sont les valeurs qui partagent la série en quatre parts d'effectifs égaux : le premier quartile $Q_1$ laisse au moins $25\,\%$ des valeurs en dessous, le troisième $Q_3$ au moins $75\,\%$. L'écart $Q_3-Q_1$, appelé écart interquartile, mesure la dispersion du cœur de la série. On les étudie en seconde.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Statistiques en Troisième, voici le reste des ressources du site :