Troisième · Fiche méthode 11 sur 12 · Agrandissement-réduction
Comment résoudre un problème d'agrandissement ou de réduction ?
Dans un agrandissement de rapport $k$, les longueurs sont multipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$. Toute la difficulté est de repérer quelle grandeur l'énoncé fait varier.
La méthode en 5 étapes
1Trouver le coefficient k
On divise une longueur de la nouvelle figure par la longueur correspondante de l'ancienne. Si $k>1$ c'est un agrandissement, si $k<1$ une réduction.
2Identifier la grandeur en jeu
Longueur (cm), aire (cm²) ou volume (cm³) : l'unité donne la réponse immédiatement.
3Choisir le bon facteur
Longueur : $\times k$. Aire : $\times k^2$. Volume : $\times k^3$.
4Calculer
On multiplie la grandeur de départ par le facteur choisi. Pour remonter dans l'autre sens, on divise.
5Vérifier la vraisemblance
Un agrandissement de rapport $3$ multiplie l'aire par $9$ et le volume par $27$ : les grands écarts sont normaux.
Un exemple entièrement résolu
Une maquette de bateau est à l'échelle $\dfrac{1}{50}$. Le bateau réel mesure $20$ m de long et sa voile a une aire de $75$ m². Quelle est la longueur de la maquette ? L'aire de sa voile ?
$k = \dfrac{1}{50} = 0{,}02$ : c'est une réduction.
Une longueur est multipliée par $k$ : $20\times 0{,}02 = 0{,}4$ m, soit $40$ cm.
Une aire est multipliée par $k^2 = 0{,}02^2 = 0{,}0004$ : $75\times 0{,}0004 = 0{,}03$ m².
$0{,}03$ m² $= 300$ cm², puisque $1$ m² $=10\,000$ cm².
Conclusion. La maquette mesure $40$ cm de long et sa voile a une aire de $300$ cm².
Les erreurs à ne pas faire
- Multiplier une aire par $k$ au lieu de $k^2$ : c'est l'erreur la plus fréquente du chapitre.
- Oublier que les angles, eux, ne changent pas dans un agrandissement.
- Se tromper de sens : pour passer de la maquette au réel, on divise par $k$ (ou on multiplie par $50$).
- Mélanger les unités d'aire lors de la conversion finale.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Un triangle d'aire $12$ cm² subit un agrandissement de rapport $3$. Quelle est l'aire du triangle obtenu ?
Voir le corrigé
L'aire est multipliée par $k^2 = 9$ : $12\times 9 = 108$.
La nouvelle aire vaut $108$ cm².
- Exercice 2
Un cube de $2$ cm d'arête a un volume de $8$ cm³. On multiplie son arête par $2{,}5$. Quel est le nouveau volume ?
Voir le corrigé
Le volume est multiplié par $k^3 = 2{,}5^3 = 15{,}625$ : $8\times 15{,}625 = 125$.
Le nouveau volume vaut $125$ cm³. Vérification directe : l'arête vaut $5$ cm et $5^3 = 125$.
- Exercice 3
Deux bouteilles sont semblables. La petite mesure $20$ cm et contient $50$ cL ; la grande mesure $30$ cm. Quelle est sa contenance ?
Voir le corrigé
$k = \dfrac{30}{20} = 1{,}5$. Une contenance est un volume : elle est multipliée par $k^3 = 3{,}375$.
$50\times 3{,}375 = 168{,}75$ cL, soit environ $1{,}69$ L.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qui est conservé dans un agrandissement ?
Les mesures d'angles, le parallélisme, la perpendicularité et les rapports de longueurs. La figure garde exactement la même forme : c'est ce qu'on appelle des figures semblables. Seules les dimensions changent.
Pourquoi le volume est-il multiplié par k³ ?
Parce qu'un volume se calcule à partir de trois longueurs. Si chacune est multipliée par $k$, le produit est multiplié par $k\times k\times k = k^3$. Le même raisonnement avec deux longueurs explique le $k^2$ des aires.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Agrandissement-réduction en Troisième, voici le reste des ressources du site :