Troisième · Fiche méthode 6 sur 12 · Fonctions
Comment calculer une image et un antécédent ?
Pour une image, on remplace $x$ par le nombre donné et on calcule : c'est direct. Pour un antécédent, on connaît le résultat et on cherche $x$ : il faut résoudre une équation.
La méthode en 5 étapes
1Repérer ce qui est demandé
« Image de $3$ » : on donne $x = 3$ et on calcule $f(3)$. « Antécédent de $3$ » : on cherche $x$ tel que $f(x) = 3$. Les deux questions sont inverses l'une de l'autre.
2Calculer une image
On remplace $x$ par la valeur, avec des parenthèses si le nombre est négatif, puis on effectue le calcul en respectant les priorités.
3Calculer un antécédent
On pose l'équation $f(x) = $ valeur, et on la résout.
4Lire sur une courbe
Image : on part de $x$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, on lit l'ordonnée. Antécédent : on part de $y$ sur l'axe vertical, on rejoint la courbe, on lit l'abscisse. Attention, il peut y avoir plusieurs antécédents.
5Rédiger avec la bonne notation
$f(3) = 11$ se lit « l'image de $3$ par $f$ est $11$ », ou « $3$ a pour image $11$ ».
Un exemple entièrement résolu
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = 3x+2$. Calculer l'image de $-4$, puis l'antécédent de $17$.
On remplace $x$ par $-4$ : $f(-4) = 3\times(-4)+2$.
$f(-4) = -12+2 = -10$. L'image de $-4$ est $-10$.
On cherche $x$ tel que $f(x) = 17$, c'est-à-dire $3x+2 = 17$.
$3x = 15$, donc $x = 5$. Vérification : $f(5) = 15+2 = 17$.
Conclusion. L'image de $-4$ est $-10$, et l'antécédent de $17$ est $5$.
Les erreurs à ne pas faire
- Confondre image et antécédent : l'image se calcule, l'antécédent se cherche par une équation.
- Oublier les parenthèses en remplaçant un nombre négatif : $f(-4) = 3\times(-4)+2$, pas $3\times -4+2$ écrit à la va-vite.
- Croire qu'un nombre n'a qu'un seul antécédent : une parabole donne souvent deux antécédents pour une même valeur.
- Inverser les axes lors d'une lecture graphique.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Soit $g(x) = x^2-5$. Calculer $g(0)$, $g(3)$ et $g(-3)$.
Voir le corrigé
$g(0) = 0-5 = -5$.
$g(3) = 9-5 = 4$.
$g(-3) = (-3)^2-5 = 9-5 = 4$ : deux nombres différents peuvent avoir la même image.
- Exercice 2
Soit $h(x) = 5x-8$. Déterminer l'antécédent de $12$.
Voir le corrigé
On résout $5x-8 = 12$, soit $5x = 20$ et $x = 4$.
L'antécédent de $12$ est $4$. Vérification : $h(4) = 20-8 = 12$.
- Exercice 3
Soit $f(x) = x^2$. Quels sont les antécédents de $25$ ? Et ceux de $-4$ ?
Voir le corrigé
$x^2 = 25$ donne $x = 5$ ou $x = -5$ : il y a deux antécédents.
$x^2 = -4$ n'a aucune solution, car un carré est toujours positif : $-4$ n'a aucun antécédent.
Questions fréquentes
Comment lire un tableau de valeurs ?
La première ligne donne les $x$, la seconde les images. Pour une image, on cherche le nombre dans la première ligne et on lit en dessous ; pour un antécédent, on cherche dans la seconde ligne et on lit au-dessus. Le sens de lecture est la seule difficulté.
Un nombre peut-il avoir plusieurs images ?
Non, jamais : c'est la définition même d'une fonction, chaque nombre a au plus une image. En revanche, un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. Graphiquement, cela signifie qu'une verticale coupe la courbe au plus une fois, mais qu'une horizontale peut la couper plusieurs fois.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Fonctions en Troisième, voici le reste des ressources du site :