Troisième · Fiche méthode 12 sur 12 · Démonstration
Comment rédiger une démonstration en géométrie ?
Une démonstration s'écrit toujours en trois temps : ce que je sais (les données de l'énoncé), ce que j'utilise (la propriété ou le théorème, cité en entier), ce que j'en conclus. Chaque affirmation doit être justifiée.
La méthode en 5 étapes
1Lire la question et repérer la conclusion visée
On note ce qu'il faut démontrer. Toute la démonstration part de la fin : quel théorème permettrait d'obtenir ce résultat ?
2Inventorier les données
On relit l'énoncé et le codage de la figure : longueurs, angles droits, parallèles, milieux. Tout ce qui est codé est utilisable, rien d'autre.
3Choisir la propriété
On cherche le théorème dont les hypothèses correspondent aux données. Angles droits et longueurs : Pythagore. Parallèles et alignements : Thalès. Angle et longueurs : trigonométrie.
4Vérifier que les hypothèses sont réunies
C'est l'étape qui distingue une démonstration d'une affirmation. Si le théorème demande deux droites parallèles, il faut avoir dit pourquoi elles le sont.
5Rédiger les trois temps
« On sait que… », « Or, d'après [propriété citée entièrement]… », « Donc… ». Une figure ne démontre jamais rien : elle illustre.
Un exemple entièrement résolu
$ABC$ est un triangle avec $AB = 5$ cm, $AC = 12$ cm et $BC = 13$ cm. Démontrer que $ABC$ est rectangle, puis calculer l'angle $\widehat{B}$ au degré près.
Les trois longueurs du triangle sont connues, et le plus grand côté est $[BC]$.
D'une part $BC^2 = 13^2 = 169$. D'autre part $AB^2+AC^2 = 25+144 = 169$.
Comme $BC^2 = AB^2+AC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Le triangle étant rectangle en $A$, par rapport à $\widehat{B}$ : $[AC]$ est opposé, $[BC]$ est l'hypoténuse. Donc $\sin(\widehat{B}) = \dfrac{12}{13}\approx 0{,}923$, d'où $\widehat{B}\approx 67°$.
Conclusion. $ABC$ est rectangle en $A$ d'après la réciproque du théorème de Pythagore, et $\widehat{B}\approx 67°$. Remarquer que la seconde question n'était possible qu'une fois la première démontrée.
Les erreurs à ne pas faire
- Utiliser la figure comme preuve : « on voit que l'angle est droit » ne vaut aucun point.
- Citer un théorème sans vérifier ses hypothèses, par exemple appliquer Thalès sans parallèles.
- Confondre un théorème et sa réciproque : l'un calcule, l'autre démontre.
- Sauter la phrase de conclusion : le correcteur attend une réponse rédigée à la question posée.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
$ABCD$ est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu. Démontrer que c'est un parallélogramme.
Voir le corrigé
On sait que les diagonales de $ABCD$ se coupent en leur milieu.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
Donc $ABCD$ est un parallélogramme.
- Exercice 2
$M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$. Démontrer que $MA = MB$.
Voir le corrigé
On sait que $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
Or, si un point appartient à la médiatrice d'un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
Donc $MA = MB$.
- Exercice 3
Dans un triangle $ABC$, $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ celui de $[AC]$. Démontrer que $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$.
Voir le corrigé
On sait que $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$.
Or, dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté (théorème des milieux).
Donc $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$, et de plus $IJ = \dfrac{BC}{2}$.
Questions fréquentes
Faut-il apprendre les théorèmes par cœur ?
Il faut connaître leur énoncé complet, avec leurs hypothèses, car c'est cet énoncé qu'on cite dans la démonstration. Un théorème à moitié su conduit à l'utiliser dans une situation où il ne s'applique pas, ce qui invalide toute la démonstration.
Comment savoir par où commencer ?
On part de la conclusion demandée et on remonte : « pour montrer que deux droites sont parallèles, quels théorèmes connais-je ? ». On confronte ensuite leurs hypothèses aux données de l'énoncé. C'est ce va-et-vient, plus que la rédaction, qui constitue le vrai travail.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Démonstration en Troisième, voici le reste des ressources du site :