Troisième · Fiche méthode 1 sur 12 · Identités remarquables
Comment factoriser une expression ?
Factoriser, c'est écrire une somme sous forme de produit. Deux outils : le facteur commun quand un même morceau apparaît dans tous les termes, et les identités remarquables quand on reconnaît $a^2+2ab+b^2$, $a^2-2ab+b^2$ ou $a^2-b^2$.
La méthode en 5 étapes
1Compter les termes
Deux termes : penser à $a^2-b^2$ ou au facteur commun. Trois termes : penser à $(a+b)^2$ ou $(a-b)^2$. C'est le premier tri à faire.
2Chercher d'abord un facteur commun
C'est toujours la première chose à tester : un nombre, une lettre ou une parenthèse entière présente dans tous les termes. $3x^2-12x = 3x(x-4)$.
3Reconnaître une différence de carrés
Deux termes séparés par un signe moins, tous deux des carrés : $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Par exemple $x^2-49 = (x-7)(x+7)$.
4Reconnaître un carré parfait
Trois termes : on identifie $a$ et $b$ avec les deux carrés, puis on vérifie que le terme du milieu vaut bien $2ab$. Alors $a^2\pm 2ab+b^2 = (a\pm b)^2$.
5Vérifier en développant
On redéveloppe la forme factorisée : elle doit redonner l'expression de départ, terme pour terme.
Un exemple entièrement résolu
Factoriser $A = 9x^2-25$, $B = x^2+10x+25$ et $C = 4x^2-12x$.
$9x^2 = (3x)^2$ et $25 = 5^2$, séparés par un moins : c'est $a^2-b^2$ avec $a = 3x$ et $b = 5$.
$A = (3x-5)(3x+5)$
$x^2 = x^2$, $25 = 5^2$, et le terme du milieu vaut $2\times x\times 5 = 10x$ : c'est exactement $a^2+2ab+b^2$.
$B = (x+5)^2$
$4x^2$ et $12x$ ont $4x$ en commun.
$C = 4x(x-3)$
$(3x-5)(3x+5) = 9x^2+15x-15x-25 = 9x^2-25$. Les autres se contrôlent de la même façon.
Conclusion. $A = (3x-5)(3x+5)$, $B = (x+5)^2$ et $C = 4x(x-3)$.
Les erreurs à ne pas faire
- Vouloir factoriser $x^2+25$ : une somme de carrés ne se factorise pas, contrairement à une différence.
- Annoncer un carré parfait sans vérifier le double produit : $x^2+7x+25$ n'est pas $(x+5)^2$ car le milieu devrait valoir $10x$.
- Oublier de sortir d'abord le facteur commun : $2x^2-18 = 2(x^2-9) = 2(x-3)(x+3)$ demande les deux étapes.
- Confondre $(a-b)^2$ et $a^2-b^2$ : ce sont deux identités différentes.
3 exercices pour s'entraîner
Cherche d'abord sur ton cahier, sans regarder l'exemple ; le corrigé se déplie ensuite.
- Exercice 1
Factoriser : $x^2-36$ ; $4x^2-81$ ; $25-y^2$.
Voir le corrigé
$x^2-36 = (x-6)(x+6)$.
$4x^2-81 = (2x)^2-9^2 = (2x-9)(2x+9)$.
$25-y^2 = (5-y)(5+y)$.
- Exercice 2
Factoriser $D = x^2-14x+49$ et $E = 9x^2+24x+16$.
Voir le corrigé
$D$ : $x^2$, $49 = 7^2$ et $2\times x\times 7 = 14x$ avec un signe moins, donc $D = (x-7)^2$.
$E$ : $(3x)^2$, $4^2$ et $2\times 3x\times 4 = 24x$, donc $E = (3x+4)^2$.
- Exercice 3
Factoriser $F = (2x+1)^2-9$.
Voir le corrigé
C'est une différence de carrés avec $a = 2x+1$ et $b = 3$ : $F = \big[(2x+1)-3\big]\big[(2x+1)+3\big]$.
Après réduction : $F = (2x-2)(2x+4)$, soit encore $F = 4(x-1)(x+2)$.
Questions fréquentes
Comment savoir quelle identité utiliser ?
Le nombre de termes oriente le choix : deux termes avec un moins font penser à $a^2-b^2$, trois termes à un carré parfait. Ensuite on identifie $a$ et $b$ en prenant la racine carrée des termes extrêmes, et on vérifie le terme du milieu. Si la vérification échoue, l'expression n'est pas factorisable ainsi.
À quoi sert la factorisation au brevet ?
Elle sert surtout à résoudre des équations : une fois l'expression écrite sous forme de produit, on utilise la règle du produit nul. Les exercices du brevet enchaînent souvent développement, factorisation puis résolution dans un même problème.
Pour aller plus loin sur Mathovore
Cette fiche donne la méthode. Pour travailler le chapitre Identités remarquables en Troisième, voici le reste des ressources du site :